РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4043

При каких значениях параметрах a уравнение $косинус в квадрате x плюс 2 левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка косинус x плюс a в квадрате минус 4a минус 5=0$ имеет хотя бы одно решение?

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем выражение, стоящее в левой части уравнения. Получим

$косинус в квадрате x плюс 2 левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка косинус x плюс a в квадрате минус 4a минус 5=$
$= косинус в квадрате x плюс 2 левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка косинус x плюс a в квадрате минус 4a плюс 4 минус 4 минус 5= левая круглая скобка косинус x плюс a минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 9.$ $косинус в квадрате x плюс 2 левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка косинус x плюс a в квадрате минус 4a минус 5=$
$= косинус в квадрате x плюс 2 левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка косинус x плюс a в квадрате минус 4a плюс 4 минус 4 минус 5=$
$= левая круглая скобка косинус x плюс a минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 9.$

Исходное уравнение равносильно уравнению

$левая круглая скобка косинус x плюс a минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 9=0 равносильно | косинус x плюс a минус 2|=3.$

Рассмотрим два возможных случая.

1)  Когда $косинус x плюс a минус 2=3,$ откуда $косинус x=5 минус a.$

2)  Когда $косинус x плюс a минус 2= минус 3,$ откуда $косинус x= минус 1 минус a.$

Заметим, что параметр a может принимать любые значения. Рассмотрим, при каких значениях a уравнение имеет хотя бы одно решение, а при каких не имеет их вовсе. Исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, когда хотя бы одно из уравнений $косинус x=5 минус a$ или $косинус x= минус 1 минус a$ имеет решения. Зная, что область значений функции $y= косинус x$ равна отрезку $левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка ,$ получим два неравенства: первое

$минус 1 меньше или равно 5 минус a меньше или равно 1 равносильно минус 6 меньше или равно минус a меньше или равно минус 4 равносильно 4 меньше или равно a меньше или равно 6;$

и второе

$минус 1 меньше или равно минус 1 минус a меньше или равно 1 равносильно 0 меньше или равно минус a меньше или равно 2 равносильно минус 2 меньше или равно a меньше или равно 0.$

Изобразим оба числовых промежутка на числовой прямой (см. рис.) и запишем объединение указанных множеств в ответ.

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка минус 2; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; 6 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4049

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 5, вариант 1

? Классификатор: Уравнения с параметром

Сложность: 6 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь