№ 3839 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 23. Задачи с параметром в алгебре
i
При каких значениях параметра a уравнение 
не имеет корней?
Решение. Пусть 
где 
Тогда получаем
Следовательно, задачу можно сформулировать следующим образом: при каких значениях параметра a данное квадратное уравнение не имеет корней на отрезке 
Рассмотрим функцию 
Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Рассмотрим возможные случаи расположения графика (см. рис.).
a) Парабола лежит выше оси абсцисс, уравнение (1) корней не имеет, дискриминант 
меньше нуля. Тогда
б) График пересекает ось Ox, но нули функции лежат левее −1, т. е. корни уравнения (1) не входят в рассматриваемый отрезок. Это возможно при выполнении следующих условий: 
и 
и 
где 
является вершиной параболы. Решим систему, составленную из этих неравенств. Получим
в) Парабола пересекает ось, но нули функции лежат правее единицы. Это возможно, когда одновременно 
и 
Решим систему
г) График пересекает ось, но нули функции лежат по разные стороны рассматриваемого отрезка. Это возможно в случае 
и 
Так
Итак, уравнение не имеет корней при 
и 
Ответ: при и
Замечание. Некоторые учащиеся формально заменили 
на t и, получив квадратное уравнение, рассмотрели только один случай с отрицательным дискриминантом. Такое решение следует считать неверным, поскольку оно не учитывает ограниченности функции 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: при
и
