РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3767

При каких положительных значениях a уравнение $левая круглая скобка \log _3a правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка 2\log _3a минус 1 правая круглая скобка x плюс \log _3a минус 2=0$ имеет единственный корень?

Спрятать решение

Решение.

Уравнение является квадратным относительно x. Оно может иметь единственное решение, если старший коэффициент равен нулю, или если дискриминант равен нулю. В первом случае $логарифм по основанию 3 a=0,$ то есть $a=1.$ При этом

$0x в квадрате плюс x плюс 0 минус 2=0 равносильно x=2$

единственное решение. Во втором случае имеем:

$D= левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 3 a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 логарифм по основанию 3 a левая круглая скобка логарифм по основанию 3 a минус 2 правая круглая скобка =4 логарифм по основанию 3 в квадрате a минус 4 логарифм по основанию 3 a плюс 1 минус 4 логарифм по основанию 3 в квадрате a плюс 8 логарифм по основанию 3 a=4 логарифм по основанию 3 a плюс 1.$ $D= левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 3 a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 логарифм по основанию 3 a левая круглая скобка логарифм по основанию 3 a минус 2 правая круглая скобка =$
$=4 логарифм по основанию 3 в квадрате a минус 4 логарифм по основанию 3 a плюс 1 минус 4 логарифм по основанию 3 в квадрате a плюс 8 логарифм по основанию 3 a=4 логарифм по основанию 3 a плюс 1.$ $D= левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 3 a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 логарифм по основанию 3 a левая круглая скобка логарифм по основанию 3 a минус 2 правая круглая скобка =$
$=4 логарифм по основанию 3 в квадрате a минус 4 логарифм по основанию 3 a плюс 1 минус 4 логарифм по основанию 3 в квадрате a плюс 8 логарифм по основанию 3 a=$
$=4 логарифм по основанию 3 a плюс 1.$

Решая уравнение $4 логарифм по основанию 3 a плюс 1=0,$ получаем $логарифм по основанию 3 a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ то есть $a=3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ;1 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3773

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1997 год, работа 2, вариант 1

? Классификатор: Уравнения с параметром

Сложность: 6 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь