РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4067

Определите, при каких значениях параметра a уравнение $2x в кубе минус 3x в квадрате минус 36x плюс a минус 3=0$ имеет ровно два корня.

Спрятать решение

Решение.

Воспользуемся метолом неопределенных коэффициентов. Уравнение третьей степени имеет ровно два корня, если один из корней имеет кратность 2. Запишем многочлен в виде произведения

$2x в кубе минус 3x в квадрате минус 36x плюс a минус 3=2 левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка x минус c правая круглая скобка ,$

где b и c  — корни многочлена, причем b  — корень кратности 2, т. е. множитель $левая круглая скобка х минус b правая круглая скобка$ входит в произведение два раза. Преобразуем произведение в многочлен стандартного вида. Получим

$2 левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка x минус c правая круглая скобка =2x в кубе минус 2 левая круглая скобка 2b плюс c правая круглая скобка x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка b в квадрате плюс 2bc правая круглая скобка x минус 2b в квадрате c.$

Два многочлена стандартного вида равны, если равны их соответствующие коэффициенты. Сопоставляя коэффициенты, получим следующую систему:

$система выражений 2 левая круглая скобка 2b плюс c правая круглая скобка =3,b в квадрате плюс 2bc= минус 18, a минус 3= минус 2b в квадрате c. конец системы .$

Из первого уравнения выразим $2c,$ и получим $2c=3 минус 4b.$ Заметим что для нахождения параметров b и a нет необходимости выражать c. Тогда второе уравнение можно записать так: $b в квадрате плюс b левая круглая скобка 3 минус 4b правая круглая скобка = минус 18.$ Приведем подобные члены: $b в квадрате минус b минус 6=0,$ корнями этого уравнения являются числа 3 и −2. Рассмотрим тогда два случая. Первый: при $b= минус 2$ имеем $2c=3 плюс 8=11$ тогда $a=3 минус 44= минус 41.$ Второй: при $b=3$ имеем $2c=3 минус 12= минус 9$ тогда $a=3 плюс 81=84.$

Ответ: при $a= минус 41$ и при $a=84.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4073

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 7, вариант 1

? Классификатор: Уравнения с параметром

Сложность: 6 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь