Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5098
i

Опре­де­лить все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те плюс 3a конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3a минус a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс 8, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те минус 9 конец дроби

имеет дей­стви­тель­ные корни.
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде

 дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: a левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс 8, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Сразу от­ме­тим, что a не равно 0, a не равно \pm 3 и до­мно­жим обе части урав­не­ния на a левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­лу­чим

2x левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a плюс 3=a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ax в квад­ра­те плюс 8a минус 2ax плюс 6x минус a минус 3=0 рав­но­силь­но ax в квад­ра­те плюс x левая круг­лая скоб­ка 6 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 7a минус 3=0.

Это квад­рат­ное урав­не­ние (по­сколь­ку a не равно 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му для того, чтобы у него были корни, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы его дис­кри­ми­нант был не­от­ри­ца­те­лен. Вы­чис­лим его:

D= левая круг­лая скоб­ка 6 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4a левая круг­лая скоб­ка 7a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =36 минус 24a плюс 4a в квад­ра­те минус 28a в квад­ра­те плюс 12a=
= минус 24a в квад­ра­те минус 12a плюс 36= минус 12 левая круг­лая скоб­ка 2a в квад­ра­те плюс a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 12 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что не­от­ри­ца­тель­но при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , от­ку­да ответ a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 5102

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1967 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром