Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3611

Для каждого значения a решите неравенство (x в квадрате минус 1)(x минус a) меньше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Точками возможной перемены знака непрерывной на ℝ функции f(x)=(x минус 1)(x плюс 1)(x минус a) являются точки x= минус 1, x=1 и x=a. В зависимости от значения а этих точек в действительности либо две, либо три. Значит, необходимо рассмотреть пять случаев.

1) При a меньше минус 1. (рис. а) Применяя метод интервалов, получаем множество решений исходного неравенства ( минус принадлежит fty ; a] \cup [ минус 1; 1].

2) При a= минус 1, (рис. б) получим x принадлежит ( минус принадлежит fty ; 1].

3) При  минус 1 меньше a меньше 1, (рис. в) получим x принадлежит ( минус принадлежит fty ; 1] \cup [a; 1].

4) При a=1, (рис. г) получим x принадлежит ( минус принадлежит fty ; 1] \cup \1\.

5) При a больше 1, (рис. д) получим x принадлежит ( минус принадлежит fty ; 1] \cup [1; a].

 

 

а)

б)

в)

г)

д)

 

Ответ: при a меньше минус 1: ( минус принадлежит fty ;a]\cup [ минус 1;1]; при a= минус 1: ( минус принадлежит fty ;1]; при  минус 1 меньше a меньше 1: ( минус принадлежит fty ; минус 1]\cup [a;1]; при a=1: ( минус принадлежит fty ; минус 1]\cup \1\; при a больше 1: ( минус принадлежит fty ; минус 1]\cup [1;a].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3617

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 6, вариант 1
? Классификатор: Неравенства с параметром
?
Сложность: 6 из 10