№ 3383 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 23. Задачи с параметром в алгебре
i
Дал каждою a найдите все решения неравенства 
Решение. Выделим три случая.
1) При 
В этом случае неравенство можно переписать в виде 
Его решениями будут все x из промежутка 
2) При 
Поскольку левая часть исходного неравенства определена при 
а при таких а выражение 
принимает положительные значения, а выражение 
— неотрицательные, то все 
и только они будут решениями исходного неравенства.
3) При 
Определим все значения x, при которых левая часть исходного неравенства обращается в ноль. Таких чисел два: a и 2. Найдем теперь решения неравенства 
Его левая часть определена при 
число 2 не является решением неравенства, а при 
получим 
Неравенство свелось к линейному: 
решения которого 
Объединяя решения уравнения и строгого неравенства, получим 
и 
Запишем ответ, предварительно заметив, что результаты, полученные в первом и втором случаях, можно объединить.
Ответ: при 
и 
при
Замечание. Приведенный способ далеко не единственный, пригодный для решения предложенной задачи. Покажем еще один, отметив два момента:
1) левая часть неравенства определена при
2) выражения и 
при одновременно положительны либо одновременно равны нулю.
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе
В зависимости от a второе неравенство имеет решения: 
при 
(рис. а); 
при 
(рис. б); 
при 
(рис. в). Остается в каждом из трех случаев рассмотреть пересечение полученного множества и решения неравенства т. е. множества
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Задание парного варианта: 3389
