Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5078
i

Ре­шить урав­не­ние:  дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 9 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу от­ме­тим, что x не равно \pm 3 и до­мно­жим урав­не­ние на x в квад­ра­те минус 9= левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка :

b левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =17 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 3x плюс bx плюс 3b минус 17=0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс x левая круг­лая скоб­ка b минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3b минус 17=0.

Корни этого урав­не­ния на­хо­дят­ся по фор­му­ле

x= дробь: чис­ли­тель: 3 минус b\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка b минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка 3b минус 17 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 минус b\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в квад­ра­те минус 6b плюс 9 минус 12b плюс 68 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 минус b\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в квад­ра­те минус 18b плюс 77 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­ме­тим, что b в квад­ра­те минус 18b плюс 77= левая круг­лая скоб­ка b минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b минус 11 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му дан­ное вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при b мень­ше 7 или b боль­ше 11 и от­ри­ца­тель­но при b при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 7; 11 пра­вая круг­лая скоб­ка (при таких b кор­ней нет). Вы­яс­ним те­перь, при каких b у дан­но­го урав­не­ния есть корни x=3 или x= минус 3. Под­ста­вим их:

x=3: 9 плюс 3 левая круг­лая скоб­ка b минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3b минус 17=0 рав­но­силь­но 6b минус 17=0 рав­но­силь­но b= дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

При таком b вто­рой ко­рень по тео­ре­ме Виета равен

 дробь: чис­ли­тель: 17 минус 3b, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус b= дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Тогда

x= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби минус 3 левая круг­лая скоб­ка b минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3b минус 17=0 рав­но­силь­но 1=0,

что не­воз­мож­но.

 

Ответ: при b при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; 7 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 11; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , x= дробь: чис­ли­тель: 3 минус b\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в квад­ра­те минус 18b плюс 77 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; при b=7 или b=11, x= дробь: чис­ли­тель: 3 минус b, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . При b= дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , x= дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . При b при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 7; 11 пра­вая круг­лая скоб­ка урав­не­ние не имеет кор­ней.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке
? Классификатор: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром