№ 3467 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 23. Задачи с параметром в алгебре
i
При каких значениях параметра a уравнение 
имеет единственное решение?
Решение. Пусть 
тогда 
и исходное уравнение принимает вид
Любому корню исходного уравнения соответствует некоторый положительный корень уравнения (1), и наоборот, в силу монотонного возрастания на множестве ℝ функции 2x, каждому положительному корню уравнения (1) отвечает некоторый корень исходного уравнения. Если исходное уравнение имеет два различных корня x1 и x2, то им соответствуют два различных корня 
и 
уравнения (1) и наоборот. Отсюда следует, что задача определения таких значений параметра а, при которых уравнение (1) имеет единственное положительное решение, равносильна исходной.
Дискриминант уравнения (1) 
откуда следует, что корни существуют при любом a: 
и 
Возможны три различных случая.
1) При 
Этот случай имеет место только тогда, когда 
При этом 
т. е. уравнение (1) имеет единственное положительное решение.
2) При 
и никакой из корней не равен нулю. В данном случае, если положительный корень единствен, то другой корень — отрицателен. Это возможно тогда и только тогда, когда 
т. е. 
3) При 
и какой-то из корней равен нулю. Если 
то 
Этот случай не подходит. Если же 
то 
Значит, уравнение (1) имеет единственный положительный корень.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 3473
