Найдите все a, при которых уравнения 
и 
имеют хотя бы один общий корень.
Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Найдем все корни первого уравнения:
где 
Последнюю серию удобно представить в виде двух серий: 
и 
(k1, k2 — целые). Если 
то 
и 
При четных k1 выражение 
принимает значение 
при нечетных 
Если 
то 
если k2 — четное; 
при нечетных k2. Таким образом, возможные значения a: 
−1 и 1.
Ответ: 
Ⅱ способ. Если 
то 
Подставив выражение 
вместо 
в уравнение 
получим 
Используя основное тригонометрическое тождество, получим уравнение относительно a: 
a после подстановки 
перейдем к уравнению 
Отсюда 
или 
тогда 
и 
Если теперь сразу записать ответ, то можно допустить логическую ошибку, ведь при переходе от уравнения к уравнению 
мы фактически перешли от уравнения к его следствию (такой же характер имел переход от уравнений и 
к уравнению 
Появилась возможность приобретения посторонних значений a. Поэтому необходимо убедиться, что для каждого из найденных a существует х, удовлетворяющий обоим данным уравнениям.
Проверим: при 
такое значение х существует 
при 
получаем соответствующие значения x: 
и 
Таким образом, все найденные значения a подходят.
Задание парного варианта: 3329