Най­ди­те наи­боль­ший объем ци­лин­дра, пол­ная по­верх­ность ко­то­ро­го

Пусть Най­ди­те какое-либо от­ри­ца­тель­ное число t, для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

Ра­ди­ус сферы равен 3. В сферу впи­са­на пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да так, что все её вер­ши­ны при­над­ле­жат сфере. Най­ди­те наи­боль­ший воз­мож­ный объём пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния вы­со­ты пи­ра­ми­ды до бо­ко­вой грани равна a. При каком зна­че­нии дву­гран­но­го угла при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды бо­ко­вая по­верх­ность ее будет ми­ни­маль­ная.

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит квад­рат ABCD. Из­вест­но, что пря­мая SD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC и что пло­щадь тре­уголь­ни­ка SAC равна Какой долж­на быть длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, чтобы её объём был наи­боль­шим?

Бо­ко­вая по­верх­ность ко­ну­са равна π. Какой угол дол­жен быть между вы­со­той ко­ну­са и его об­ра­зу­ю­щей, чтобы рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до его об­ра­зу­ю­щей было наи­боль­шим?

Бо­ко­вая по­верх­ность пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равна 4. Под каким углом долж­на быть на­кло­не­на к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды её бо­ко­вая грань, чтобы рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды до бо­ко­вой грани было наи­боль­шим?

В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан шар ра­ди­у­са 1. Най­ди­те длину вы­со­ты пи­ра­ми­ды, при ко­то­рой её объём наи­мень­ший.

В конус, об­ра­зу­ю­щая ко­то­ро­го на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом 45°, впи­сан ци­линдр так, что одно его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, а окруж­ность дру­го­го ос­но­ва­ния при­над­ле­жит бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. Най­ди­те угол между диа­го­на­лью осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра и его ос­но­ва­ни­ем, при ко­то­ром объём ци­лин­дра будет наи­боль­шим.

В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан куб с реб­ром, рав­ным 1, так, что одно ос­но­ва­ние лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны про­ти­во­по­лож­но­го ему ос­но­ва­ния  — на бо­ко­вых рёбрах пи­ра­ми­ды. В пи­ра­ми­де с наи­мень­шим объёмом най­ди­те ве­ли­чи­ну угла на­кло­на бо­ко­вой грани к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды.

В конус впи­сан ци­линдр. Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­рат с пе­ри­мет­ром, рав­ным 4. В ко­ну­се, име­ю­щем наи­мень­ший объём, най­ди­те от­но­ше­ние вы­со­ты ко­ну­са к ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ко­ну­са.

В конус объёма V впи­сан ци­линдр наи­боль­ше­го объёма. Най­ди­те этот наи­боль­ший объём ци­лин­дра.

В шар ра­ди­у­са R впи­сан ци­линдр. Най­ди­те угол между диа­го­на­лью осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, при ко­то­ром пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра будет наи­боль­шей. Най­ди­те зна­че­ние этой наи­боль­шей пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти.

В шар ра­ди­у­са R впи­са­на пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма. Угол между диа­го­на­лью приз­мы и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен α. При каком зна­че­нии α пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы будет наи­боль­шей?

Най­ди­те наи­боль­ший воз­мож­ный объём пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, впи­сан­ной в шар ра­ди­у­са R.

Объём ко­ну­са равен V. Най­ди­те наи­боль­ший объём ци­лин­дра, впи­сан­но­го в этот конус.

В шар ра­ди­у­са R впи­сан конус наи­боль­ше­го объёма. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этого ко­ну­са.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен R, вы­со­та H. В этом ко­ну­се рас­по­ло­жен дру­гой конус, вер­ши­на ко­то­ро­го на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния дан­но­го ко­ну­са, а ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся се­че­ние дан­но­го ко­ну­са плос­ко­стью, па­рал­лель­ной его ос­но­ва­нию. Най­ди­те наи­боль­ший воз­мож­ный объём вто­ро­го ко­ну­са.

Какую наи­мень­шую пло­щадь может иметь тре­уголь­ник ABC, если точки B и C лежат на оси абс­цисс, а точка A лежит на гра­фи­ке функ­ции

Для из­го­тов­ле­ния кон­серв­ной банки ци­лин­дри­че­ской формы за­дан­ной вме­сти­мо­сти V тре­бу­ет­ся ме­талл двух сор­тов: на бо­ко­вую по­верх­ность  — I сорта, на ос­но­ва­ние  — II сорта, сто­и­мость ко­то­ро­го в 2 раза мень­ше, чем сто­и­мость I сорта. При каком от­но­ше­нии вы­со­ты банки к ра­ди­у­су её ос­но­ва­ния за­тра­ты на ма­те­ри­ал будут наи­мень­ши­ми?

На из­го­тов­ле­ние ак­ва­ри­ума объ­е­мом 4,8 в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с квад­рат­ным ос­но­ва­ни­ем тре­бу­ют­ся угол­ки по длине всех ребер (12 ребер) и стек­ло на бо­ко­вые стен­ки и пол. Цена угол­ков  — одна услов­ная еди­ни­ца (у. е.) за по­гон­ный метр, цена стек­ла  — 4 у. е. за квад­рат­ный метр. Ка­ко­вы долж­ны быть раз­ме­ры ак­ва­ри­ума, чтобы рас­хо­ды на ма­те­ри­ал были ми­ни­маль­ны­ми?