№ 2256 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 19. Применение производной к задачам оптимизации в геометрии
i
В шар радиуса R вписана правильная четырёхугольная призма. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен α. При каком значении α площадь полной поверхности призмы будет наибольшей?
Решение. 
Можно считать, что радиус шара равен 1 (при гомотетии все отношения площадей и отрезков сохранятся, как и углы). Обозначим высоту призмы за 2h, а сторону ее основания за 2x, тогда ее площадь полной поверхности будет равна
Рассмотрим диагональное сечение призмы, перпендикулярное основанию. Получим прямоугольник со сторонами 2h и 
вписанный в окружность радиуса 1 (поскольку центр шара лежит в этом сечении). Значит, диагональ этого прямоугольника является диаметром сферы и равна 2, откуда
Следовательно, площадь полной поверхности призмы это
Наша задача — найти наибольшее значение этой функции при 
Возьмем производную:
Приравняем производную к нулю:
Отсюда 
(посторонний корень, поскольку для него 
отрицательно) или 
Теперь вычислим значения функции 
в точках 
и 
(корень производной и концы отрезка), одно из них и будет наибольшим: 
Итак, наибольшая площадь поверхности получается при 
тогда диагональ основания равна 
и, следовательно,
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2261
