Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2296

Радиус основания конуса равен R, высота H. В этом конусе расположен другой конус, вершина которого находится в центре основания данного конуса, а основанием является сечение данного конуса плоскостью, параллельной его основанию. Найдите наибольший возможный объём второго конуса.

Спрятать решение

Решение.

Пусть S — вершина большого конуса, O — центр его основания и вершина маленького, O1 — центр основания маленького (O_1 принадлежит OS), SA — образующая большого конуса, M — точка ее пересечения с основанием маленького. Обозначим за h=O_1O высоту маленького конуса, за r=O_1M его радиус основания. Треугольники SO1M и SOA подобны, откуда  дробь: числитель: SO_1, знаменатель: SO конец дроби = дробь: числитель: MO_1, знаменатель: AO конец дроби ,  дробь: числитель: H минус h, знаменатель: H конец дроби = дробь: числитель: r, знаменатель: R конец дроби , откуда

H минус h= дробь: числитель: rH, знаменатель: R конец дроби равносильно h=H минус дробь: числитель: rH, знаменатель: R конец дроби = дробь: числитель: HR минус rH, знаменатель: R конец дроби = дробь: числитель: H(R минус r), знаменатель: R конец дроби .

Объем маленького конуса равен

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи hr в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на дробь: числитель: H(R минус r), знаменатель: R конец дроби умножить на r в квадрате = дробь: числитель: Пи H, знаменатель: 3R конец дроби (Rr в квадрате минус r в кубе ),

необходимо найти наибольшее значение этой функции. Возьмем ее производную:

 левая круглая скобка дробь: числитель: Пи H, знаменатель: 3R конец дроби (Rr в квадрате минус r в кубе ) правая круглая скобка '= дробь: числитель: Пи H, знаменатель: 3R конец дроби (2Rr минус 3r в квадрате )= дробь: числитель: Пи H, знаменатель: 3R конец дроби умножить на r(2R минус 3r),

поэтому производная отрицательна при r больше дробь: числитель: 2R, знаменатель: 3 конец дроби и положительна при r меньше дробь: числитель: 2R, знаменатель: 3 конец дроби . значит, эта функция убывает при r больше дробь: числитель: 2R, знаменатель: 3 конец дроби и возрастает при r меньше дробь: числитель: 2R, знаменатель: 3 конец дроби , а наибольшее значение принимает в точке r= дробь: числитель: 2R, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда объем маленького конуса равен

 дробь: числитель: Пи H, знаменатель: 3R конец дроби умножить на r в квадрате (R минус r)= дробь: числитель: Пи H, знаменатель: 3R конец дроби умножить на дробь: числитель: 4R в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка R минус дробь: числитель: 2R, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: Пи H, знаменатель: 3R конец дроби умножить на дробь: числитель: 4R в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби умножить на дробь: числитель: R, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 4 Пи HR в квадрате , знаменатель: 81 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 4 Пи HR в квадрате , знаменатель: 81 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2301

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 9 из 10