Радиус основания конуса равен R, высота H. В этом конусе расположен другой конус, вершина которого находится в центре основания данного конуса, а основанием является сечение данного конуса плоскостью, параллельной его основанию. Найдите наибольший возможный объём второго конуса.
Пусть S — вершина большого конуса, O — центр его основания и вершина маленького, O1 — центр основания маленького
SA — образующая большого конуса, M — точка ее пересечения с основанием маленького. Обозначим за
высоту маленького конуса, за
его радиус основания. Треугольники SO1M и SOA подобны, откуда
откуда
Объем маленького конуса равен
необходимо найти наибольшее значение этой функции. Возьмем ее производную:
поэтому производная отрицательна при и положительна при
значит, эта функция убывает при
и возрастает при
а наибольшее значение принимает в точке
Тогда объем маленького конуса равен
Ответ:
Задание парного варианта: 2301

