На изготовление аквариума объемом 4,8 в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием требуются уголки по длине всех ребер (12 ребер) и стекло на боковые стенки и пол. Цена уголков — одна условная единица (у. е.) за погонный метр, цена стекла — 4 у. е. за квадратный метр. Каковы должны быть размеры аквариума, чтобы расходы на материал были минимальными?
Пусть сторона основания аквариума равна x метров, тогда его высота равна Его поверхность состоит из пола размером
четырех стенок размером
а среди ребер восемь имеют длину x, а четыре — длину
Общие расходы на аквариум тогда составят
(у. е.)
Нам нужно найти наименьшее значение этой функции. Возьмем ее производную
Множитель положителен при
и не оказывает влияния на знак производной.
У многочлена можно угадать корень
после чего выделить у него множитель
Второй множитель положителен при поэтому знак производной совпадает со знаком
То есть производная отрицательна (а функция убывает) при
и производная положительна (а функция возрастает) при
Значит, наименьшее значение она принимает при
Размеры аквариума тогда 2 × 2 × 1,2 метра.
Ответ: 2 × 2 × 1,2.
Задание парного варианта: 2835

