№ 5092 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 19. Применение производной к задачам оптимизации в геометрии
i
В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от основания высоты пирамиды до боковой грани равна a. При каком значении двугранного угла при ребре основания пирамиды боковая поверхность ее будет минимальная.
Решение. 
Введем обозначения. Пусть вершина пирамиды — точка S, вершины основания — точки A, B, C, D, точка O — центр основания, точка M — середина CD. Тогда 
как медиана равнобедренного треугольника SCD и 
как проекция SM на плоскость основания. Следовательно, 
Тогда расстояние от O до грани SCD — высота OH прямоугольного треугольника SOM (она перпендикулярна SM по построению и перпендикулярна CD, поскольку лежит в плоскости SOM). Кроме того, двугранный угол при ребре CD равен углу SMO. Обозначим
тогда 
и 
Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна
Чтобы данное выражение было минимальным, нужно сделать знаменатель максимальным. Обозначим временно 
и рассмотрим функцию
Ее производная равна 
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция возрастает при 
и убывает при 
Поэтому наибольшее ее значение (и наименьшее значение площади боковой поверхности) достигается при 
и, следовательно, 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ:
