Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2196
i

В конус, об­ра­зу­ю­щая ко­то­ро­го на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом 45°, впи­сан ци­линдр так, что одно его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, а окруж­ность дру­го­го ос­но­ва­ния при­над­ле­жит бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. Най­ди­те угол между диа­го­на­лью осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра и его ос­но­ва­ни­ем, при ко­то­ром объём ци­лин­дра будет наи­боль­шим.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Можно счи­тать, что ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 1 (при го­мо­те­тии все от­но­ше­ния объ­е­мов со­хра­нят­ся, как и углы). Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. В нем будет рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ASB, \angle A=\angle B=45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , в ко­то­рый впи­сан пря­мо­уголь­ник MNPQ (M,N при­над­ле­жит AB, P при­над­ле­жит SB, Q при­над­ле­жит SA). Обо­зна­чим вы­со­ту ци­лин­дра за h, то есть NP  =  MQ  =  h). Тогда в тре­уголь­ни­ке QMA имеем \angle A=45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , \angle M=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть это тоже рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник и MA  =  h, от­ку­да

MN=AB минус MA минус NB=2 минус 2MA=2 минус 2h,

а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 1 − h и h < 1. Объем ци­лин­дра равен

Пи левая круг­лая скоб­ка 1 минус h пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на h= Пи левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2h плюс h в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка h= Пи левая круг­лая скоб­ка h в кубе минус 2h в квад­ра­те плюс h пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем про­из­вод­ную этого вы­ра­же­ния:

левая круг­лая скоб­ка Пи левая круг­лая скоб­ка h в кубе минус 2h в квад­ра­те плюс h пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= Пи левая круг­лая скоб­ка 3h в квад­ра­те минус 4h плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи левая круг­лая скоб­ка h минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3h минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­сколь­ку h − 1 от­ри­ца­тель­но, все это вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но при h боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и по­ло­жи­тель­но при h мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , то есть функ­ция Пи левая круг­лая скоб­ка h в кубе минус 2h в квад­ра­те плюс h пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет при h мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , убы­ва­ет при h боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и имеет наи­боль­шее зна­че­ние при h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Тогда

тан­генс \angle PMN= дробь: чис­ли­тель: NP, зна­ме­на­тель: MN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби : дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2201

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1983 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025