Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2166

Боковая поверхность конуса равна π. Какой угол должен быть между высотой конуса и его образующей, чтобы расстояние от центра основания конуса до его образующей было наибольшим?

Спрятать решение

Решение.

Пусть S — вершина конуса, O — центр основания, A — точка на окружности основания. Пусть радиус основания конуса равен r, а образующая равна l, тогда по условию  Пи rl= Пи , откуда l= дробь: числитель: 1, знаменатель: r конец дроби . Тогда

l больше r равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: r конец дроби больше r равносильно 1 больше r в квадрате равносильно r принадлежит (0;1).

Высота конуса SO из прямоугольного треугольника SOA равна  корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: r в квадрате конец дроби минус r в квадрате ) .

Расстояние от O до SA — высота того же прямоугольного треугольника, поэтому оно равно

 дробь: числитель: 2S_SOA, знаменатель: SA конец дроби = дробь: числитель: SO умножить на OA, знаменатель: SA конец дроби = дробь: числитель: r умножить на корень из (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: r в квадрате конец дроби минус r в квадрате ) , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: r конец дроби конец дроби =r в квадрате корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: r в квадрате конец дроби минус r в квадрате ) = корень из (r в квадрате минус r в степени 6 ) .

Нужно найти наибольшее значение подкоренного выражения. Возьмем производную:

(r в квадрате минус r в степени 6 )'=2r минус 6r в степени 5 =2r(1 минус 3r в степени 4 ),

что положительно при r меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из [ 4]3 конец дроби и отрицательно при r больше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из [ 4]3 конец дроби , поэтому функция r в квадрате минус r в степени 6 (а с ней и  корень из (r в квадрате минус r в степени 6 ) ) возрастает при r меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из [ 4]3 конец дроби и убывает при r больше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из [ 4]3 конец дроби , принимая наибольшее значение при r= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из [ 4]3 конец дроби . Тогда

 синус \angle OSA= дробь: числитель: AO, знаменатель: SA конец дроби = дробь: числитель: r, знаменатель: \textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: r конец дроби конец дроби =r в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби .

Ответ: \arcsin дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2171

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1982 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 9 из 10