Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2246
i

В шар ра­ди­у­са R впи­сан ци­линдр. Най­ди­те угол между диа­го­на­лью осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, при ко­то­ром пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра будет наи­боль­шей. Най­ди­те зна­че­ние этой наи­боль­шей пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть вы­со­та ци­лин­дра равна 2h, а ра­ди­ус равен r. Пусть, далее, O  — центр шара (и ци­лин­дра), O1  — центр ос­но­ва­ния ци­лин­дра, A  — точка на ос­но­ва­нии ци­лин­дра. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка OO1A имеем

R в квад­ра­те =r в квад­ра­те плюс h в квад­ра­те рав­но­силь­но h в квад­ра­те =R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те .

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна

S левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка =2 Пи r в квад­ра­те плюс 2 Пи r умно­жить на 2h= Пи левая круг­лая скоб­ка 2r в квад­ра­те плюс 4rh пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи левая круг­лая скоб­ка 2r в квад­ра­те плюс 4r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Опре­де­лим наи­боль­шее зна­че­ние этой функ­ции. Возь­мем про­из­вод­ную, не учи­ты­вая по­сто­ян­ный мно­жи­тель π:

левая круг­лая скоб­ка 2r в квад­ра­те плюс 4r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка '=4r плюс левая круг­лая скоб­ка 4r пра­вая круг­лая скоб­ка ' ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та плюс 4r левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка '=
=4r плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та плюс 4r умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка '= 4r плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2r пра­вая круг­лая скоб­ка =
=4r плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: минус 4r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = 4r плюс дробь: чис­ли­тель: 4 левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби =4r плюс дробь: чис­ли­тель: 4R в квад­ра­те минус 4r в квад­ра­те минус 4r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби =4r плюс дробь: чис­ли­тель: 4R в квад­ра­те минус 8r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Вы­яс­ним, когда эта про­из­вод­ная равна нулю:

4r плюс дробь: чис­ли­тель: 4R в квад­ра­те минус 8r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби =0 рав­но­силь­но r= дробь: чис­ли­тель: 2r в квад­ра­те минус R в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2r в квад­ра­те минус R в квад­ра­те рав­но­силь­но

рав­но­силь­но r в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2r в квад­ра­те минус R в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но r в квад­ра­те R в квад­ра­те минус r в сте­пе­ни 4 =4r в сте­пе­ни 4 плюс R в сте­пе­ни 4 минус 4r в квад­ра­те R в квад­ра­те рав­но­силь­но 5r в сте­пе­ни 4 минус 5r в квад­ра­те R в квад­ра­те плюс R в сте­пе­ни 4 =0.

Раз­де­лим урав­не­ние на R в сте­пе­ни 4 и обо­зна­чим дробь: чис­ли­тель: r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: R в квад­ра­те конец дроби =x. По­лу­ча­ем:

5x в квад­ра­те минус 5x плюс 1=0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Зна­чит, r= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та R. То есть наи­боль­шее зна­че­ние функ­ция при­ни­ма­ет в одной из точек r=0; r= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та R, r= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та R, r=R:

S левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи левая круг­лая скоб­ка 2r в квад­ра­те плюс 4r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка ;

S левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи левая круг­лая скоб­ка 0 плюс 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0;

S левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи левая круг­лая скоб­ка 2R в квад­ра­те плюс 4r умно­жить на 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 Пи R в квад­ра­те ;

S левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та R пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби R в квад­ра­те плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби R в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =
= Пи левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби R в квад­ра­те плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та R в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 10 минус 5\mp ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =

= Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5\mp ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5\mp ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =

= Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5 в квад­ра­те минус 5, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =
= Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Боль­шее зна­че­ние будет, если вы­брать знак плюс. Тогда

S= Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 плюс 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 2 Пи R в квад­ра­те ,

зна­чит, это и есть наи­боль­шее зна­че­ние. Оста­лось найти угол между диа­го­на­лью осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра и его ос­но­ва­ни­ем. Это \angle OAO_1. Тогда

ко­си­нус \angle OAO_1= дробь: чис­ли­тель: AO_1, зна­ме­на­тель: AO конец дроби = дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но \angle OAO_1= арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Ответ: альфа = арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та , S= Пи R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2251

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1985 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025