Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2813
i

Пусть f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс синус 3x. Най­ди­те какое-либо от­ри­ца­тель­ное число t, для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =f' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Функ­ция f(x) диф­фе­рен­ци­ру­е­ма при всех зна­че­ни­ях x. Ее про­из­вод­ная

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 ко­рень из 2 синус 2x плюс 3 ко­си­нус 3x.

Со­ста­вим ра­вен­ство

 ко­рень из 2 ко­си­нус 2x плюс синус 3x= минус 2 ко­рень из 2 синус 2x плюс 3 ко­си­нус 3x рав­но­силь­но ко­рень из 2 ко­си­нус 2x плюс 2 ко­рень из 2 синус 2x=3 ко­си­нус 3x минус синус 3x

и пре­об­ра­зу­ем обе его части, поль­зу­ясь фор­му­лой

a умно­жить на ко­си­нус u плюс b умно­жить на синус u= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \varphi минус u пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где \varphi= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби . Тогда

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка бета плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2a минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка .

Одно из ре­ше­ний этого урав­не­ния имеет вид

 левая круг­лая скоб­ка 3x плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 2x минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 k Пи рав­но­силь­но x= минус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 k Пи , k при­над­ле­жит Z .

Так как  альфа = арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби боль­ше 0 и  бета = арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби боль­ше 0, то тре­бу­е­мое число t= минус левая круг­лая скоб­ка арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2819

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1999 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 6 из 10