Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2266
i

Най­ди­те наи­боль­ший воз­мож­ный объём пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, впи­сан­ной в шар ра­ди­у­са R.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть S  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, ABC  — ее ос­но­ва­ние, O  — центр сферы, O1  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Ясно, что S лежит на пря­мой OO1, при­чем так, что O лежит между O1 и S (если это не так, за­ме­ним S на вто­рой конец этого же диа­мет­ра, вы­со­та пи­ра­ми­ды уве­ли­чит­ся, зна­чит, и объем тоже). Обо­зна­чим OO_1=x, тогда h=R плюс x  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OO1C имеем

O_1C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: OC в квад­ра­те минус OO_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Cече­ние сферы плос­ко­стью ос­но­ва­ния  — опи­сан­ная окруж­ность пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка и по­сколь­ку ее ра­ди­ус равен ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , то сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна

2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Тогда объем пи­ра­ми­ды равен

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби h S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка R плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка R плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка R плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка R плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка R плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка R минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби h в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2R минус h пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем те­перь наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции h в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2R минус h пра­вая круг­лая скоб­ка . Возь­мем ее про­из­вод­ную:

левая круг­лая скоб­ка h в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2R минус h пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка 2Rh в квад­ра­те минус h в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка '=4Rh минус 3h в квад­ра­те =h левая круг­лая скоб­ка 4R минус 3h пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при h боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и по­ло­жи­тель­на при h мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Зна­чит, сама функ­ция (а с ней и объем) убы­ва­ет при h боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и воз­рас­та­ет при h мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , а наи­боль­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет в точке h= дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби :

V_max= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 16R в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби R в кубе .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби R в кубе .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2271

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1985 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025