Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2226
i

В конус впи­сан ци­линдр. Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­рат с пе­ри­мет­ром, рав­ным 4. В ко­ну­се, име­ю­щем наи­мень­ший объём, най­ди­те от­но­ше­ние вы­со­ты ко­ну­са к ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр квад­ра­та равен 4, зна­чит, сто­ро­на квад­ра­та равна 1, по­это­му ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а вы­со­та 1. Обо­зна­чим вы­со­ту ко­ну­са за h, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния за r, тогда его объем равен  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи hr в квад­ра­те . Пусть S  — вер­ши­на ко­ну­са, O  — центр его ос­но­ва­ния, AB  — диа­метр ос­но­ва­ния.

Рас­смот­рим се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью SAB. По­лу­чим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, в ко­то­рый впи­сан квад­рат. На­зо­вем его вер­ши­ны M, N, P, Q, при этом P при­над­ле­жит SB, Q при­над­ле­жит SA. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SOA и QMA по­доб­ны, по­это­му  дробь: чис­ли­тель: SO, зна­ме­на­тель: OA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: QM, зна­ме­на­тель: MA конец дроби ,

 дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: r конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: r минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби рав­но­силь­но h= дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: r минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: 2r минус 1 конец дроби .

Зна­чит, объем ко­ну­са равен

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи hr в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: 2r минус 1 конец дроби умно­жить на r в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r в кубе , зна­ме­на­тель: 2r минус 1 конец дроби .

Опре­де­лим наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции. Возь­мем про­из­вод­ную.

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r в кубе , зна­ме­на­тель: 2r минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка r в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка ' левая круг­лая скоб­ка 2r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 2r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 'r в кубе , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3r в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2r в кубе , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 6r в кубе минус 3r в квад­ра­те минус 2r в кубе , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4r в кубе минус 3r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 4r минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби ,

что по­ло­жи­тель­но при r боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и от­ри­ца­тель­но при r мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Зна­чит, функ­ция  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r в кубе , зна­ме­на­тель: 2r минус 1 конец дроби воз­рас­та­ет при r боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , убы­ва­ет при r мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния при r= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Тогда h= дробь: чис­ли­тель: \dfrac32, зна­ме­на­тель: \dfrac32 минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \dfrac32, зна­ме­на­тель: \dfrac12 конец дроби =3 и  дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: r конец дроби =3: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =4.

 

Ответ: 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2231

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1984 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10