№ 2226 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 19. Применение производной к задачам оптимизации в геометрии
i
В конус вписан цилиндр. Осевым сечением цилиндра является квадрат с периметром, равным 4. В конусе, имеющем наименьший объём, найдите отношение высоты конуса к радиусу основания конуса.
Спрятать решениеРешение. Периметр квадрата равен 4, значит, сторона квадрата равна 1, поэтому радиус основания цилиндра
а высота 1. Обозначим высоту конуса за h, а радиус основания за r, тогда его объем равен
Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, AB — диаметр основания.
Рассмотрим сечение конуса плоскостью SAB. Получим равнобедренный треугольник, в который вписан квадрат. Назовем его вершины M, N, P, Q, при этом
Прямоугольные треугольники SOA и QMA подобны, поэтому 

Значит, объем конуса равен

Определим наименьшее значение этой функции. Возьмем производную.









что положительно при
и отрицательно при
Значит, функция
возрастает при
убывает при
и достигает наименьшего значения при 
Тогда
и 
Ответ: 4.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 4.
Задание парного варианта: 2231