Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2216
i

В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду впи­сан куб с реб­ром, рав­ным 1, так, что одно ос­но­ва­ние лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны про­ти­во­по­лож­но­го ему ос­но­ва­ния  — на бо­ко­вых рёбрах пи­ра­ми­ды. В пи­ра­ми­де с наи­мень­шим объёмом най­ди­те ве­ли­чи­ну угла на­кло­на бо­ко­вой грани к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим все ин­те­ре­су­ю­щие нас точки. Пусть в пи­ра­ми­ду SMNPQ впи­сан куб ABCDA1B1C1D1 так, что ABCD лежит в плос­ко­сти ос­но­ва­ния MNPQ, A_1 при­над­ле­жит SM, C_1 при­над­ле­жит SP. Пусть, кроме того, X  — се­ре­ди­на ребра MN, O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды (также он центр квад­ра­та ABCD, по­сколь­ку лежит на AC и BD, ко­то­рые лежат на MP и NQ со­от­вет­ствен­но). Обо­зна­чим MN  =  2x, SO  =  h, тогда объем пи­ра­ми­ды будет равен  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби h левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби hx в квад­ра­те .

Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SMP. В нем будет рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SMP, в ко­то­рый впи­сан пря­мо­уголь­ник ACC1A1 со сто­ро­на­ми 1 и  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Тре­уголь­ни­ки SOP и C1CP по­доб­ны, по­это­му  дробь: чис­ли­тель: SO, зна­ме­на­тель: C_1C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: OP, зна­ме­на­тель: CP конец дроби ,

 дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та 2 конец дроби рав­но­силь­но h= дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби .

Зна­чит, объем пи­ра­ми­ды равен

 дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби hx в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби .

Опре­де­лим наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции. Возь­мем про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка ' левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 'x в кубе , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2x в кубе , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 6x в кубе минус 3x в квад­ра­те минус 2x в кубе , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4x в кубе минус 3x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 4x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби ,

что по­ло­жи­тель­но при x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и от­ри­ца­тель­но при x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Зна­чит, функ­ция  дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби воз­рас­та­ет при x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , убы­ва­ет при x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния при x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Тогда h= дробь: чис­ли­тель: \tfrac32, зна­ме­на­тель: \tfrac32 минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac32, зна­ме­на­тель: \tfrac12 конец дроби =3. Окон­ча­тель­но, по­лу­ча­ем:

 тан­генс \angle левая круг­лая скоб­ка SMN,MNPQ пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс \angle SXO= дробь: чис­ли­тель: SO, зна­ме­на­тель: OX конец дроби = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби =4.

Ответ:  арк­тан­генс 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2221

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1984 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10