Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2205

Радиус сферы равен 3. В сферу вписана правильная четырёхугольная пирамида так, что все её вершины принадлежат сфере. Найдите наибольший возможный объём пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

Пусть S — вершина пирамиды, ABCD — ее основание, O — центр сферы, O1 — центр квадрата ABCD. Ясно, что S лежит на прямой OO1, причем так, что O лежит между O1 и S (если это не так, заменим S на второй конец этого же диаметра, высота пирамиды увеличится, значит, и объем тоже). Обозначим OO_1=x, тогда h=3 плюс x — высота пирамиды. Тогда из прямоугольного треугольника OO_1C имеем

O_1C= корень из (OC в квадрате минус OO_1 в квадрате ) = корень из (9 минус x в квадрате ) .

Значит, AC=2 корень из (9 минус x в квадрате ) , а сторона квадрата, меньшая диагонали в  корень из (2) раз, равна  корень из (18 минус 2x в квадрате ) . Тогда объем пирамиды равен

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби h S_ABCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (3 плюс x) умножить на корень из (18 минус 2x в квадрате ) в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (3 плюс x) умножить на (18 минус 2x в квадрате )=
= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (3 плюс x)(9 минус x в квадрате )= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (3 плюс x)(3 плюс x)(3 минус x)= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби h в квадрате (6 минус h).

Найдем теперь наибольшее значение функции h в квадрате (2R минус h). Возьмем ее производную:

(h в квадрате (6 минус h))'=(6h в квадрате минус h в кубе )'=12h минус 3h в квадрате =h(12 минус 3h),

поэтому производная отрицательна при h > 4 и положительна при h < 4. Значит, сама функция (а с ней и объем) убывает при h > 4 и возрастает при h < 4, а наибольшее значение принимает в точке h = 4: V_max= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 16 умножить на 2= дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2210

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 8 из 10