В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Известно, что прямая SD перпендикулярна плоскости ABC и что площадь треугольника SAC равна Какой должна быть длина стороны основания пирамиды, чтобы её объём был наибольшим?
Обозначим сторону квадрата за x, а высоту пирамиды — ребро SD — за y. Тогда объем пирамиды равен По теореме Пифагора для треугольникa SDA находим
тогда и
а
Поскольку треугольник SAC равнобедренный, его высота SO является и его медианой, поэтому
Значит,
откуда
Осталось найти наибольшее значение подкоренного выражения. Для этого возьмем его производную:
что отрицательно при x > 2 и положительно при Значит, функция
а с ней и
возрастает при
убывает при x > 2 (там, где определена) и принимает наибольшее значение при x = 2:
Ответ: x = 2.
Задание парного варианта: 2160

