Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2186

В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар радиуса 1. Найдите длину высоты пирамиды, при которой её объём наименьший.

Спрятать решение

Решение.

Пусть S — вершина пирамиды, O — центр основания ABCD, M — середина AB, N — середина CD. Пусть сторона основания пирамиды равна 2x, а высота равна h, тогда V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби h(2x) в квадрате = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби hx в квадрате . Из прямоугольного треугольника SOM сразу найдем

SM= корень из (SO в квадрате плюс OM в квадрате ) = корень из (h в квадрате плюс x в квадрате ) .

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SMN. В ней сечение вписанной сферы будет представлять вписанную окружность этого треугольника. По условию ее радиус равен 1. С другой стороны, r= дробь: числитель: 2S_SMN, знаменатель: P_SMN конец дроби , откуда

1= дробь: числитель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на h умножить на 2x, знаменатель: 2x плюс 2SM конец дроби = дробь: числитель: xh, знаменатель: x плюс SM конец дроби = дробь: числитель: xh, знаменатель: x плюс корень из (h в квадрате плюс x в квадрате ) конец дроби .

Отсюда

xh=x плюс корень из (h в квадрате плюс x в квадрате ) равносильно xh минус x= корень из (h в квадрате плюс x в квадрате ) равносильно x в квадрате h в квадрате минус 2x в квадрате h плюс x в квадрате =h в квадрате плюс x в квадрате равносильно x в квадрате h в квадрате минус 2x в квадрате h=h в квадрате ,

после сокращения на h не равно 0 находим:

x в квадрате h минус 2x в квадрате =h равносильно h= дробь: числитель: 2x в квадрате , знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби ,

V= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби hx в квадрате = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в степени 4 минус 1 плюс 1, знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: (x в квадрате минус 1)(x в квадрате плюс 1) плюс 1, знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби =
= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на (x в квадрате плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби )= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на (x в квадрате минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби плюс 2).

Сумма обратных величин всегда не меньше 2 и равна 2 только когда они равны 1. Поэтому наименьший объем будет при x= корень из (2) и h= дробь: числитель: 2x в квадрате , знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 2, знаменатель: 2 минус 1 конец дроби =4.

 

Ответ: 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2191

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 9 из 10