В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар радиуса 1. Найдите длину высоты пирамиды, при которой её объём наименьший.
Пусть S — вершина пирамиды, O — центр основания ABCD, M — середина AB, N — середина CD. Пусть сторона основания пирамиды равна 2x, а высота равна h, тогда 
Из прямоугольного треугольника SOM сразу найдем
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SMN. В ней сечение вписанной сферы будет представлять вписанную окружность этого треугольника. По условию ее радиус равен 1. С другой стороны, 
откуда
Отсюда
после сокращения на 
находим:
Сумма обратных величин всегда не меньше 2 и равна 2 только когда они равны 1. Поэтому наименьший объем будет при 
и 
Ответ: 4.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2191