PDF-версии: 
Найдите наибольший объем цилиндра, полная поверхность которого 
Решение. Обозначим радиус основания цилиндра за r, а его высоту за h. Тогда его полная поверхность равна 
откуда
). Объем цилиндра равен 
Осталось найти r, при котором значение этой функции наибольшее. Пусть
Заметим, что 
положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
и убывает при 
Значит, ее наибольшее значение достигается при 
Имеем:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Найдите какое-либо отрицательное число t, для которого выполняется равенство 
Тогда
и 
то требуемое число 
тогда 
— высота пирамиды. Тогда из прямоугольного треугольника 
имеем 
а сторона квадрата, меньшая диагонали в 
раз, равна 
Тогда объем пирамиды равен 
Возьмем ее производную:
как медиана равнобедренного треугольника SCD и 
как проекция SM на плоскость основания. Следовательно, 
Тогда расстояние от O до грани SCD — высота OH прямоугольного треугольника SOM (она перпендикулярна SM по построению и перпендикулярна CD, поскольку лежит в плоскости SOM). Кроме того, двугранный угол при ребре CD равен углу SMO. Обозначим 
тогда 
и 
и рассмотрим функцию
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция возрастает при 
и убывает при 
Поэтому наибольшее ее значение (и наименьшее значение площади боковой поверхности) достигается при 
и, следовательно, 
Какой должна быть длина стороны основания пирамиды, чтобы её объём был наибольшим?
По теореме Пифагора для треугольникa SDA находим 
тогда и 
а 
Поскольку треугольник SAC равнобедренный, его высота SO является и его медианой, поэтому 
Значит, функция 
а с ней и 
возрастает при 
убывает при x > 2 (там, где определена) и принимает наибольшее значение при x = 2:
откуда 
Тогда
и отрицательно при 
поэтому функция 
(а с ней и 
) возрастает при 
Тогда 
откуда 
и отрицательно при 
поэтому функция 
(а с ней и 
) возрастает при 
Тогда 
Из прямоугольного треугольника SOM сразу найдем 
откуда 
находим:
и 
в который вписан прямоугольник MNPQ (
). Обозначим высоту цилиндра за h, то есть NP = MQ = h). Тогда в треугольнике QMA имеем 
то есть это тоже равнобедренный прямоугольный треугольник и MA = h, откуда 
и положительно при 
то есть функция 
возрастает при 
Тогда
Пусть, кроме того, X — середина ребра MN, O — центр основания пирамиды (также он центр квадрата ABCD, поскольку лежит на AC и BD, которые лежат на MP и NQ соответственно). Обозначим MN = 2x, SO = h, тогда объем пирамиды будет равен 
Треугольники SOP и C1CP подобны, поэтому 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наименьшего значения при 
Окончательно, получаем:
а высота 1. Обозначим высоту конуса за h, а радиус основания за r, тогда его объем равен 
Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, AB — диаметр основания.
Прямоугольные треугольники SOA и QMA подобны, поэтому 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наименьшего значения при 
и 
откуда 
Обозначим высоту цилиндра за h, а радиус основания за r, тогда его объем равен 
Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, AB — диаметр основания.
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наименьшего значения при 
Вычислим ее значение:
и обозначим 
Получаем:
То есть наибольшее значение функция принимает в одной из точек 
Тогда
вписанный в окружность радиуса 1 (поскольку центр шара лежит в этом сечении). Значит, диагональ этого прямоугольника является диаметром сферы и равна 2, откуда 
Возьмем производную:
(посторонний корень, поскольку для него 
отрицательно) или 
в точках 
и 
(корень производной и концы отрезка), одно из них и будет наибольшим: 
тогда диагональ основания равна 
и, следовательно, 
—
то сторона треугольника равна 
и положительна при 
Значит, сама функция (а с ней и объем) убывает при 
а наибольшее значение принимает в точке 
объем равен 
а площадь боковой поверхности 
и его описанная окружность, имеющая радиус R. Как известно, 
где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника. Получаем:
SA — образующая большого конуса, M — точка ее пересечения с основанием маленького. Обозначим за 
высоту маленького конуса, за 
его радиус основания. Треугольники SO1M и SOA подобны, откуда 
откуда 
и положительна при 
значит, эта функция убывает при 
а наибольшее значение принимает в точке 
Тогда объем маленького конуса равен 
а точка A лежит на графике функции 
до оси абсцисс. Найдем ближайшую к оси абсцисс точку этого графика. Заметим, что 
— точка минимума функции 
Поскольку 
— наименьшее значение функции 
и, следовательно, наименьшая возможная площадь треугольника равна 104.
— абсцисса точки A, тогда
для 
Таким образом, 
— точка минимума функции S. Тогда 
в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием требуются уголки по длине всех ребер (12 ребер) и стекло на боковые стенки и пол. Цена уголков — одна условная единица (у. е.) за погонный метр, цена стекла — 4 у. е. за квадратный метр. Каковы должны быть размеры аквариума, чтобы расходы на материал были минимальными?
Его поверхность состоит из пола размером 
четырех стенок размером 
а среди ребер восемь имеют длину x, а четыре — длину 
(у. е.)
положителен при 
и не оказывает влияния на знак производной.
можно угадать корень 
после чего выделить у него множитель 
поэтому знак производной совпадает со знаком 
То есть производная отрицательна (а функция убывает) при 
и производная положительна (а функция возрастает) при 
Значит, наименьшее значение она принимает при 
Размеры аквариума тогда 2 × 2 × 1,2 метра.