Всего: 145 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
3Б. Даны комплексные числа 
и 
а) Изобразите на чертеже множество M всех таких комплексных чисел z, что 
б) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что 
в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в M.
г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наименьшим модулем.
поэтому лежит на серединном перпендикуляре к соединяющему их отрезку (см. рисунок).
тогда первое условие дает 
получаем 
Второе условие дает 
получаем 
(окружность и прямая касаются. Это неудивительно, поскольку 
а радиус окружности вдвое меньше).
получим: 
Отсюда 
и искомая точка 
(Это основание перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат).
г) 
Задание парного варианта: 1730
3А. Рассматриваются комплексные числа z и 
а) Пусть 
Запишите в алгебраической форме все числа a такие, что 
б) Изобразите на чертеже множество всех комплексных чисел z таких, что 
в) Пусть 
. Изобразите на чертеже множество всех чисел 
г) Пусть 
Найдите все числа z такие, что начало координат O и точки, соответствующие числам z, 
и 
лежат на одной окружности.
то 
Решим уравнение 
либо 
Поэтому 
то либо 
либо 
То есть либо 
либо 
откуда 
— это вертикальная прямая.
откуда 
— это горизонтальная ось (см. левый рисунок).
сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на 2. Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на 2 (она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке 2) (см. правый рисунок).
вещественное число, то точки 
лежат на горизонтальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то либо 
либо 
(не лежит на окружности 
В первом случае получаем точки 
и 
то есть всего две различных точки. Этот случай годится.
и точки z и 
симметричны относительно горизонтальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и 
лежит на ней.
а 
отсюда видно, что при 
(а если 
Итак, центром окружности должна быть точка 1. Значит, радиус окружности равен 
— равносторонний и имеет углы по 
Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
Задание парного варианта: 1717
2. Дна функция 
а) Вычислите 
б) Решите уравнение 
в) Найдите наибольшее значение функции 
г) Найдите все положительные числа a такие, что выполнения неравенства 
достаточно для выполнения неравенства 
и преобразуем его:
— оно однородное — получим
получаем
то первый множитель положителен, а значит второй отрицателен (ведь 
). Если уменьшать x, то 
останется положительным до точки 
а второй множитель будет отрицательным минимум до той же точки (в четвертой четверти и 
и 
выражение 
не станет нулем. Значит, до этого момента знак не менялся. Значит, в сторону уменьшения x можно отходить не более чем на 
В сторону увеличения на столько отойти можно (и даже сильно больше, на 
но это уже неважно).
(первое условие задает положительность a, которая тоже требуется в задаче).
б) 
в) 3; г) 
Задание парного варианта: 1711
3А. Рассматриваются комплексные числа z и 
а) Пусть 
Запишите в алгебраической форме все числа b такие, что 
б) Изобразите на чертеже множество всех комплексных чисел z таких, что 
в) Пусть 
Изобразите на чертеже множество всех чисел 
г) Пусть Найдите все числа z такие, что начало координат O и точки, соответствующие числам z, и 
лежат на одной окружности.
то 
Решим уравнение 
либо 
то либо 
либо 
То есть либо 
либо 
откуда 
— это горизонтальная прямая.
откуда 
— это вертикальная ось (см. левый рисунок).
сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на 
Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на 
(она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке 
лежат на вертикальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то 
или 
то есть 
Только последняя из них лежит на единичной окружности, и для нее получаются точки 
и 
всего две различных точки. Этот случай годится.
и точки z и 
симметричны относительно вертикальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и 
лежит на ней.
а 
отсюда видно, что при 
(а если 
и при этом точка лежит на единичной окружности, то 
этот случай уже разобран) отрезок, соединяющий эти точки, вертикален, поэтому серединный перпендикуляр к нему — горизонтальная прямая, проходящая через 
Итак, центром окружности должна быть точка i. Значит, радиус окружности равен 
— равносторонний и имеет углы по 
с вертикальной осью дает угол 
с горизонтальной)
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
Задание парного варианта: 1712
3Б. Даны числа 
и 
а) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что
б) Изобразите на чертеже множество P всех таких комплексных чисел z, что
в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в P.
г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наибольшем модулем.
и радиусом 1 (см. рисунок).
значит, 
Второе условие дает 
значит, 
Итак, 
(окружность и прямая касаются. Это неудивительно, поскольку 
Сам луч, проходящий через точки 
и 
имеет уравнение 
Найдем точки его пересечения с окружностью, подставив такое y в ее уравнение
получится более удаленная от начала координат точка 
г) 
Задание парного варианта: 1708
Отображение f сопоставляет комплексному числу z число 
где 
и a — некоторые фиксированные комплексные числа.
а) Известно, что 
и 
Найдите 
б) Известно, что 
Изобразите на плоскости множество всех возможных значений 
при условии, что 
в) Известно, что 
Изобразите на плоскости множество всех значений a, при которых 
г) Изобразите на плоскости множество всех значений a, для которых найдется такое значение u, что соответствующее отображение f переводит точки полуплоскости 
в точки полуплоскости 
откуда 
По условию 
поэтому искомое множество образовано точками, из которых отрезок с концами в z и w виден под углом 
Пусть u = v + iw, a = b + ic. Так как
то v = 0. Теперь пусть z = x + iy, x, 
и y ⩾ 0. Имеем: 
при всех y ⩾ 0 тогда и только 
Задание парного варианта: 2137
3А. Рассматриваются комплексные числа z, 
и 
а) Найдите все числа z такие, что 
б) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа равны.
в) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа u равны.
г) Пусть Найдите наименьшее значение 
то либо 
то есть 
а значит 
Ответ: 
или 
то 
Получаем, что 
— уравнение прямой.
то 
и радиусом 
откуда и 
Тогда
и для точки 
получаем 
б) см. рис. 1; в) см. рис. 2; г) 1.Задание парного варианта: 1773
3А. Рассматриваются комплексные числа z, 
и
а) Найдите все числа z такие, что
б) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа противоположны.
в) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа u равны.
г) Пусть Найдите наибольшее значение
а значит 
Ответ 
то 
Получаем, что 
— уравнение прямой.
и радиусом 
и для точки 
получаем 
б) см. рис. 1; в) см. рис. 2; г) 3.Задание парного варианта: 1751
3В. Дано комплексное число 
а) Изобразите на чертеже множество всех таких комплексных чисел z, что 
б) Проверьте, являются ли числа a и 
корнями уравнения 
в) Изобразите на чертеже множество M всех комплексных чисел z таких, что 
г) Найдите наименьшее значение выражения 
для 
Поэтому искомое множество — окружность с центром в 
и радиусом 
(cм. левый рисунок).
Это уравнение прямой 
(см. правый рисунок).
— сумма расстояний от точки z до точек a и 
равного 
и это значение достигается в точке пересечения данного отрезка и прямой из предыдущего пункта.
— корень уравнения; в) см. рис. справа; 
3В. Дано комплексное число 
а) Изобразите на чертеже множество всех таких комплексных чисел z, что 
б) Проверьте, являются ли числа b и 
корнями уравнения 
в) Изобразите на чертеже множество K всех комплексных чисел z таких, что 
г) Найдите наименьшее значение выражения 
для 
и радиусом 
или 
Это уравнение прямой 
(см. правый рисунок).
лежат по разные стороны от построенной прямой, поэтому соединяющий их отрезок пересекает эту прямую. 
— сумма расстояний от точки z до точек b и 
По неравенству треугольника она не меньше расстояния между точками b и 
равного 
и это значение достигается в точке пересечения данного отрезка и прямой из предыдущего пункта. Задание парного варианта: 1802
3А. Рассматриваются комплексные числа z и 
а) Запишите в алгебраической форме все числа z такие, что 
б) Изобразите на чертеже совокупность всех чисел z таких, что 
и 
в) Пусть 
Найдите наименьшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.
г) Пусть Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих z и u, и начале координат O.
где 
Тогда 
Отсюда 
но 
Покажем, что угол OAB может быть равен 
Для этого достаточно предъявить такое z, что 
а 
(теорема, обратная теореме Пифагора). Но пусть 
тогда 
то 
Итак, существует такое число z, что в треугольнике OAB прямой угол OAB, но тем самым наибольшее возможное значение площади — 
б) см. рис.; в) 2; г) 1.Задание парного варианта: 1827
3А. Рассматриваются комплексные числа z и 
а) Запишите в алгебраической форме все числа z такие, что 
б) Изобразите на чертеже совокупность всех чисел z таких, что 
и 
в) Пусть 
Найдите наибольшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.
г) Пусть Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих 
и u, и начале координат O.
т. е. 
Ясно, что 
является его корнем, что помогает разложить на множители 
отсюда 
то 
причем 
Подставив такое z, получим
выражение под модулем отрицательно. Значит, 
Домножим обе части на 
и 
(см. рис.).
и 
то 
что действительно возможно при 
поскольку тогда угол между векторами z и 
будет равен 
Задание парного варианта: 1805
3А. Рассматривается множество D комплексных чисел, задаваемое неравенством 
а) Изобразите на чертеже множество D.
б) Найдите все корни уравнения 
принадлежащие множеству D.
в) Изобразите на чертеже множество M всех чисел u таких, что 
где 
г) Найдите все пары чисел 
таких, что 
не больше 1 и задает круг с центром в точке 
радиуса 1.
лежит ниже вещественной оси и в круг не попадает, а точка 
лежит в D, поскольку 
а модуль удваивается. Значит, вся картинка поворачивается на 
против часовой стрелки и затем «раздувается» в два раза от начала координат (такое преобразование называется «поворотная гомотетия»). Ясно, что при этом получается круг радиуса 2, осталось лишь найти его центр.
а потом еще взять симметричные точки в M — для них дробь 
просто изменит знак и они тоже подойдут в исходное уравнение.
тем самым вопрос свелся к такому — какие прямые, проходящие через начало координат (с уравнением 
) пересекают оба круга и в каких точках?
Поэтому если провести обе касательные из начала координат, угол между ними составит 
При преобразованиях, давших круг M, этот угол не меняется. Поэтому прямая, проходящая под углом 
с вершиной в начале координат, она и будет единственной прямой, пересекающей обе окружности.
Точка касания ее с окружностью D очевидно расположена вдвое ближе к началу координат, так что это 
в) см. рис.; г) 
и 
Задание парного варианта: 1854
3Б. Дана функция 
а) Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
б) Найдите уравнение касательных к графику функции 
проходящих через точку с координатами 
в) Найдите площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной графиком функции и прямыми 
г) Наудачу выбирается число k из отрезка 
Определите вероятность того, что уравнение 
имеет корень из отрезка 
и отрицательно при 
Значит, функция возрастает на отрезке 
и убывает на отрезке 
поэтому ее наименьшее значение равно 
имеет вид 
то есть 
откуда 
имеет вид 
(касательная горизонтальна, поскольку 
имеет вид 
пересекаются в точке 
Прямая 
в первой четверти только при 
получаем из пункта а что 
). Наконец, решим уравнение 
(это ведь касательная в точке 
Выделим его
и что функция 
а 
убывает там же. Значит, область ограничена снизу линией 
— прямой 
а на отрезке 
— линией 
Проведем вертикальный отрезок от точки 
до точки 
Он отсечет от области прямоугольный треугольник площади 
Значит, вся площадь равна
проходят через точку 
функции 
точка пересечения имеет абсциссу 1 (см. пункт б). Выясним, когда абсцисса попадет в промежуток 
пройдет через точку 
если 
если 
Мы рассматриваем только 
из них подходят 
Итак, из отрезка длиной 5 подходят точки отрезка длиной 3, поэтому искомая вероятность 
в) 
г) 0,4.Задание парного варианта: 1855
3А. Рассматривается множество A комплексных чисел z, задаваемое неравенством 
а) Изобразите на чертеже множество A.
б) Найдите все корни уравнения 
принадлежащие множеству A.
в) Изобразите на чертеже множество B всех чисел u таких, что 
где 
г) Найдите все пары чисел 
таких, что
радиуса 1.
лежит ниже вещественной оси и в круг не попадает, а точка 
лежит в A, поскольку 
просто изменит знак и они тоже подойдут в исходное уравнение.
через начало координат касается обеих окружностей. Поскольку они лежат по разные стороны от нее и при этом внутри угла, меньшего 
значит, длина этой такая же. Тогда сама эта точка будет 
и 
Задание парного варианта: 1849
3Б. Дана функция 
а) Найдите наименьшее значение функции на отрезке 
б) Найдите уравнение касательных к графику функции проходящих через точку с координатами 
в) Найдите площадь фигуры, лежащей во второй четверти и ограниченной графиком функции и прямыми 
г) Наудачу выбирается число k из отрезка 
Определите вероятность того, что уравнение 
имеет корень из отрезка 
и положительно при 
Значит, функция убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
поэтому ее наименьшее значение равно 
откуда 
(касательная горизонтальна, поскольку 
пересекаются в точке 
Прямая 
во второй четверти только при 
получаем из пункта а что 
). Наконец, решим уравнение 
Выделим его
и что функция 
а 
а сверху на отрезке 
— прямой 
а на отрезке 
— линией 
до точки 
Он отсечет от области прямоугольный треугольник площади 
Значит, вся площадь равна
проходят через точку 
Тогда они пересекают график убывающей на отрезке 
функции 
если 
если 
Мы рассматриваем только 
из них подходят 
Итак, из отрезка длиной 4 подходят точки отрезка длиной 3, поэтому искомая вероятность 
в) 
г) 
Задание парного варианта: 1850
3А. Рассматривается комплексные числа z и 
а) Найдите все числа z такие, что
б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что 
в) Пусть Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел u.
г) Пусть случайным образом выбирается число z такое, что Найдите вероятность того, что при этом
тогда 
Ясно, что 
тогда и только тогда, когда 
а 
такими, что 
с центром в точке 
Поэтому искомая фигура получается параллельным переносом на 1 влево из данного множества 
Искомое множество — окружность радиуса 1 с центром в точке 
к длине этой окружности (см. рис.). На чертеже A и C — это точки пересечения окружностей 
B — точка, соответствующая 1. Ясно, что треугольник OAB равносторонний, поэтому 
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
Задание парного варианта: 1864
3А. Рассматривается комплексные числа z и 
а) Найдите все числа z такие, что
б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что
в) Пусть Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел u.
г) Пусть случайным образом выбирается число z такое, что 
Найдите вероятность того, что при 
тогда 
откуда 
и 
то есть 
Значит, 
или 
То есть 
дает 
то есть 
и радиусом 
Эта окружность изображена на левом рисунке.
то 
То есть нужно взять все точки, лежащие на единичной окружности 
и сдвинуть их вправо на 1. Получится окружность радиуса 1 с центром в точке 
Эта окружность изображена на правом рисунке.
или треть окружности.
случайно выбранная на ней точка (а выбирать точку сразу на ней или выбирать точку на окружности 
Задание парного варианта: 1859
3А. Дано выражение 
и множество M комплексных чисел, удовлетворяющих условию 
Точка K комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу z, обозначается 
а) Изобразите на чертеже множество M.
б) Пусть 
Найдите все корни уравнения 
принадлежащие множеству M.
в) Изобразите на чертеже множество комплексных чисел 
где
г) Пусть 
Найдите все вещественные числа a, при которых уравнение 
имеет такой корень 
что в четырехугольник OABC можно вписать окружность.
Пусть 
(см. рисунок).
получаем уравнение 
запишем его в виде 
Тогда 
То есть в этом множестве лежат точки, у которых координаты отличаются только знаком. Значит, это прямая 
(см. рисунок).
Пусть далее 
обязаны иметь вид 
(но не все такие могут подходить, поскольку может не получаться выпуклого четырехугольника). Подставим такое 
и 
Второе уравнение дает 
то 
эта точка в любом случае не подходит, можно даже не искать a.
то первое уравнение превращается в 
или 
Нетрудно видеть (см. рис.), что первая точка не подходит (поскольку O оказывается внутри треугольника ABC), вторая подходит. Для нее 
в) см. рис.; г) 
Задание парного варианта: 1874
3А. Дано выражение 
и множество K комплексных чисел, удовлетворяющих условию 
Точка M комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу z, обозначается 
а) Изобразите на чертеже множество K.
б) Пусть 
Найдите все корни уравнения принадлежащие множеству K.
в) Изобразите на чертеже множество комплексных чисел 
где
г) Пусть 
Найдите все вещественные числа b, при которых уравнение имеет такой корень что в четырехугольник OABC можно вписать окружность.
Пусть 
получаем уравнение 
запишем его в виде 
Тогда 
(но не все такие могут подходить, поскольку может не получаться выпуклого четырехугольника). Подставим такое 
и 
Второе уравнение дает 
то первое уравнение превращается в 
или 
Нетрудно видеть (см. рис.), что первая точка не подходит (поскольку O оказывается внутри треугольника ABC), вторая подходит. Для нее 
в) 
г) 
и 
Задание парного варианта: 1869