Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1708
i

3Б. Даны ком­плекс­ные числа z_0=i и z_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

а)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство M всех таких ком­плекс­ных чисел z, что |z минус z_0|=1.

б)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство K всех таких ком­плекс­ных чисел z, что |z минус z_0|=|z минус z_1|.

в)  Най­ди­те все числа, со­дер­жа­щи­е­ся и в K , и в M.

г)  Среди чисел, при­над­ле­жа­щих мно­же­ству K, най­ди­те число с наи­мень­шим мо­ду­лем.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По усло­вию, рас­сто­я­ние между z и z_0=i долж­но быть не боль­ше еди­ни­цы, по­это­му от­ве­том будет круг с цен­тром в i и ра­ди­у­сом 1 (см. ри­су­нок).

б)  По усло­вию, z рав­но­уда­ле­на от i и ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , по­это­му лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к со­еди­ня­ю­ще­му их от­рез­ку (см. ри­су­нок).

в)  Пусть z=x плюс yi, тогда пер­вое усло­вие дает \absx плюс yi минус i=1, по­лу­ча­ем x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1. Вто­рое усло­вие дает \absx плюс yi минус i=\absx плюс yi минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , по­лу­ча­ем

x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те минус 2y плюс 1=x в квад­ра­те минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x плюс 3 плюс y в квад­ра­те рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 2y=2 рав­но­силь­но y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 1.

Под­став­ляя это в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим:

x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 1 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 3x в квад­ра­те минус 4x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 4=1 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x плюс 3=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но 2x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 1= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Итак, z= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i (окруж­ность и пря­мая ка­са­ют­ся. Это не­уди­ви­тель­но, по­сколь­ку \absz_0 минус z_1=2, а ра­ди­ус окруж­но­сти вдвое мень­ше).

г)  Для точек на пря­мой y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 1 по­лу­чим:

\absx плюс iy=\absx плюс i левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 3x в квад­ра­те минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x плюс 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x в квад­ра­те минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x плюс 1 конец ар­гу­мен­та .

Ясно, что наи­мень­шее зна­че­ние этого вы­ра­же­ния будет при таком x, при ко­то­ром наи­мень­шим будет под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние, то есть при x= минус дробь: чис­ли­тель: минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . От­сю­да y= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 1= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и ис­ко­мая точка z= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби i (Это ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го на пря­мую из на­ча­ла ко­ор­ди­нат).

 

Ответ: а) см. рис., б) см. рис., в) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i, г) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1730

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1992 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми , Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025