Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1708

3Б. Даны комплексные числа z_0=i и z_1= корень из (3) .

а) Изобразите на чертеже множество M всех таких комплексных чисел z, что |z минус z_0|=1.

б) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что |z минус z_0|=|z минус z_1|.

в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в M.

г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наименьшим модулем.

Спрятать решение

Решение.

а) По условию, расстояние между z и z_0=i должно быть не больше единицы, поэтому ответом будет круг с центром в i и радиусом 1 (см. рисунок).

б) По условию, z равноудалена от i и  корень из (3) , поэтому лежит на серединном перпендикуляре к соединяющему их отрезку (см. рисунок).

в) Пусть z=x плюс yi, тогда первое условие дает \absx плюс yi минус i=1, получаем x в квадрате плюс (y минус 1) в квадрате =1. Второе условие дает \absx плюс yi минус i=\absx плюс yi минус корень из (3) , получаем

x в квадрате плюс (y минус 1) в квадрате =(x минус корень из (3) ) в квадрате плюс y в квадрате равносильно x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y плюс 1=x в квадрате минус 2 корень из (3) x плюс 3 плюс y в квадрате равносильно

 равносильно 2 корень из (3) x минус 2y=2 равносильно y= корень из (3) x минус 1.

Подставляя это в первое уравнение, получим:

x в квадрате плюс ( корень из (3) x минус 1 минус 1) в квадрате =1 равносильно x в квадрате плюс ( корень из (3) x минус 2) в квадрате =1 равносильно x в квадрате плюс 3x в квадрате минус 4x корень из (3) плюс 4=1 равносильно
 равносильно 4x в квадрате минус 4 корень из (3) x плюс 3=0 равносильно (2x минус корень из (3) ) в квадрате =0 равносильно 2x= корень из (3) равносильно x= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби , y= корень из (3) x минус 1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Итак, z= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби i (окружность и прямая касаются. Это неудивительно, поскольку \absz_0 минус z_1=2, а радиус окружности вдвое меньше).

г) Для точек на прямой y= корень из (3) x минус 1 получим:

\absx плюс iy=\absx плюс i( корень из (3) x минус 1)= корень из (x в квадрате плюс ( корень из (3) x минус 1) в квадрате ) = корень из (x в квадрате плюс 3x в квадрате минус 2 корень из (3) x плюс 1) = корень из (4x в квадрате минус 2 корень из (3) x плюс 1) .

Ясно, что наименьшее значение этого выражения будет при таком x, при котором наименьшим будет подкоренное выражение, то есть при x= минус дробь: числитель: минус 2 корень из (3) , знаменатель: 2 умножить на 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби . Отсюда y= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус 1= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби и искомая точка z= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби i (Это основание перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат).

 

Ответ: а) см. рис., б) см. рис., в)  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби i, г)  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1730

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1
? Классификатор: Действия над комплексными числами , Изображение множеств комплексных чисел на плоскости
?
Сложность: 9 из 10