Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1827

3А. Рассматриваются комплексные числа z и  u=z минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби .

а) Запишите в алгебраической форме все числа z такие, что  u= минус 4i.

б) Изобразите на чертеже совокупность всех чисел z таких, что  \arg z= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби и  |u| меньше или равно 4.

в) Пусть  |z| больше или равно 1. Найдите наибольшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.

г) Пусть  |z|=1. Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих  минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби и u, и начале координат O.

Спрятать решение

Решение.

а) Решим уравнение z минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби = минус 4i, т. е. z в квадрате плюс 4iz минус 3=0. Ясно, что z= минус i является его корнем, что помогает разложить на множители (z плюс i)(z плюс 3i)=0, отсюда z= минус i или z= минус 3i.

б)  Если \arg z= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , то z=bi, причем b меньше 0. Подставив такое z, получим

\absbi минус дробь: числитель: 3, знаменатель: bi конец дроби меньше или равно 4 равносильно \absbi плюс дробь: числитель: 3i, знаменатель: b конец дроби меньше или равно 4 равносильно \abs(b плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: b конец дроби )i меньше или равно 4 равносильно  \absb плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: b конец дроби \absi меньше или равно 4 равносильно \absb плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: b конец дроби меньше или равно 4.

При b меньше 0 выражение под модулем отрицательно. Значит,  минус b минус дробь: числитель: 3, знаменатель: b конец дроби меньше или равно 4. Домножим обе части на  минус b больше 0:

b в квадрате плюс 3 меньше или равно минус 4b равносильно b в квадрате плюс 4b плюс 3 меньше или равно 0 равносильно (b плюс 1)(b плюс 3) меньше или равно 0 равносильно b принадлежит [ минус 3; минус 1].

Итак, искомое множество — отрезок вертикальной оси между точками  минус 3i и  минус i (см. рис.).

в) Упростим исходное выражение

\absu минус z=\absz минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби минус z=\abs минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: \absz конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 конец дроби =3.

Это значение достигается, если \absz=1.

г) Заметим, что

\abs0 минус ( минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби )= дробь: числитель: 3, знаменатель: \absz конец дроби =3 и \absu минус ( минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби )=\absz минус дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби =\absz=1.

То есть у этого треугольника две стороны имеют длины 3 и 1. Если угол между ними равен  альфа , то

S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на 1 умножить на синус альфа меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Равенство может достигаться, если  альфа =90 в степени (o) , что действительно возможно при

z= дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби (1 плюс i)= косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,

это число подобрано так, чтобы z в квадрате =i, поскольку тогда угол между векторами z и  дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби будет равен

\arg дробь: числитель: z, знаменатель: дробь: числитель: 3, знаменатель: z конец дроби конец дроби =\arg дробь: числитель: z в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби =\arg дробь: числитель: i, знаменатель: 3 конец дроби =90 в степени (o) .

Ответ: а) -i, −3i; б) см. рис.; в) 3; г)  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1805

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2
? Классификатор: Действия над комплексными числами , Изображение множеств комплексных чисел на плоскости
?
Сложность: 9 из 10