3А. Рассматриваются комплексные числа z и
а) Запишите в алгебраической форме все числа z такие, что
б) Изобразите на чертеже совокупность всех чисел z таких, что и
в) Пусть Найдите наибольшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.
г) Пусть Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих
и u, и начале координат O.
а) Решим уравнение т. е.
Ясно, что
является его корнем, что помогает разложить на множители
отсюда
или
б) Если
то
причем
Подставив такое z, получим
При выражение под модулем отрицательно. Значит,
Домножим обе части на
Итак, искомое множество — отрезок вертикальной оси между точками и
(см. рис.).
в) Упростим исходное выражение
Это значение достигается, если
г) Заметим, что
и
То есть у этого треугольника две стороны имеют длины 3 и 1. Если угол между ними равен то
Равенство может достигаться, если что действительно возможно при
это число подобрано так, чтобы поскольку тогда угол между векторами z и
будет равен
Ответ:
Задание парного варианта: 1805

