Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1827
i

3А. Рас­смат­ри­ва­ют­ся ком­плекс­ные числа z и  u=z минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби .

а)  За­пи­ши­те в ал­геб­ра­и­че­ской форме все числа z такие, что  u= минус 4i.

б)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же со­во­куп­ность всех чисел z таких, что  \arg z= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  |u| мень­ше или равно 4.

в)  Пусть  |z| боль­ше или равно 1. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние рас­сто­я­ния между точ­ка­ми ком­плекс­ной плос­ко­сти, со­от­вет­ству­ю­щи­ми z и u.

г)  Пусть  |z|=1. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках, со­от­вет­ству­ю­щих  минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби и u, и на­ча­ле ко­ор­ди­нат O.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Решим урав­не­ние z минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби = минус 4i, т. е. z в квад­ра­те плюс 4iz минус 3=0. Ясно, что z= минус i яв­ля­ет­ся его кор­нем, что по­мо­га­ет раз­ло­жить на мно­жи­те­ли  левая круг­лая скоб­ка z плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка z плюс 3i пра­вая круг­лая скоб­ка =0, от­сю­да z= минус i или z= минус 3i.

б)   Если \arg z= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то z=bi, при­чем b мень­ше 0. Под­ста­вив такое z, по­лу­чим

\absbi минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: bi конец дроби мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но \absbi плюс дробь: чис­ли­тель: 3i, зна­ме­на­тель: b конец дроби мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но \abs левая круг­лая скоб­ка b плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: b конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка i мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но  \absb плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: b конец дроби \absi мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но \absb плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: b конец дроби мень­ше или равно 4.

При b мень­ше 0 вы­ра­же­ние под мо­ду­лем от­ри­ца­тель­но. Зна­чит,  минус b минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: b конец дроби мень­ше или равно 4. До­мно­жим обе части на  минус b боль­ше 0:

b в квад­ра­те плюс 3 мень­ше или равно минус 4b рав­но­силь­но b в квад­ра­те плюс 4b плюс 3 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но  левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но b при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Итак, ис­ко­мое мно­же­ство  — от­ре­зок вер­ти­каль­ной оси между точ­ка­ми  минус 3i и  минус i (см. рис.).

в)  Упро­стим ис­ход­ное вы­ра­же­ние

\absu минус z=\absz минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби минус z=\abs минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: \absz конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби =3.

Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, если \absz=1.

г)  За­ме­тим, что

\abs0 минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: \absz конец дроби =3 и \absu минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =\absz минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби =\absz=1.

То есть у этого тре­уголь­ни­ка две сто­ро­ны имеют длины 3 и 1. Если угол между ними равен  альфа , то

S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 3 умно­жить на 1 умно­жить на синус альфа мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ра­вен­ство может до­сти­гать­ся, если  альфа =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка o пра­вая круг­лая скоб­ка , что дей­стви­тель­но воз­мож­но при

z= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

это число по­до­бра­но так, чтобы z в квад­ра­те =i, по­сколь­ку тогда угол между век­то­ра­ми z и  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби будет равен

\arg дробь: чис­ли­тель: z, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: z конец дроби конец дроби =\arg дробь: чис­ли­тель: z в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =\arg дробь: чис­ли­тель: i, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка o пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ: а) -i, −3i; б) см. рис.; в) 3; г)  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1805

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми , Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 9 из 10