Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1805

3А. Рассматриваются комплексные числа z и  u=z плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: z конец дроби .

а) Запишите в алгебраической форме все числа z такие, что  u= минус i.

б) Изобразите на чертеже совокупность всех чисел z таких, что  \arg z= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби и  |u| меньше или равно 1.

в) Пусть  |z| меньше или равно 1. Найдите наименьшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.

г) Пусть  |z|=1. Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих z и u, и начале координат O.

Спрятать решение

Решение.

а) Имеем уравнение z плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: z конец дроби = минус i равносильно z в квадрате плюс iz плюс 2=0.

б) Пусть z=ki, где k больше 0. Тогда u=ki плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: ki конец дроби =ki минус дробь: числитель: 2, знаменатель: k конец дроби i; |u|=\left|k минус дробь: числитель: 2, знаменатель: k конец дроби | меньше или равно 1. Отсюда

|k в квадрате минус 2| меньше или равно k равносильно минус k меньше или равно k в квадрате минус 2 меньше или равно k равносильно

 

 равносильно система выражений k в квадрате плюс k минус 2 больше или равно 0,k в квадрате минус k минус 2 меньше или равно 0 конец системы . равносильно 1 меньше или равно k\leqslant2.

в) Расстояние равно |u минус z|= дробь: числитель: 2, знаменатель: |z| конец дроби , но |z| меньше или равно 1.

г) Пусть A и B — точки, соответствующие числам z и u. Тогда OA=1, AB=|u минус z|= дробь: числитель: 2, знаменатель: |z| конец дроби =2. Покажем, что угол OAB может быть равен 90 градусов. Для этого достаточно предъявить такое z, что |z|=1, а |u|=OB= корень из 5 (теорема, обратная теореме Пифагора). Но пусть z= косинус \varphi плюс i синус \varphi, тогда

|u|= дробь: числитель: |z в квадрате плюс 2|, знаменатель: |z| конец дроби =|z в квадрате плюс 2|=| косинус 2\varphi плюс i синус 2\varphi плюс 2|=

 

= корень из левая круглая скобка косинус 2\varphi плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате 2\varphi= корень из 5 плюс 4 косинус 2\varphi.

Если  косинус 2\varphi=0, то |u|= корень из 5. Итак, существует такое число z, что в треугольнике OAB прямой угол OAB, но тем самым наибольшее возможное значение площади —  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на OA умножить на AB=1.

 

Ответ: 3А. а)  i,  минус 2i; б) см. рис.; в) 2; г) 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1827

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Действия над комплексными числами , Изображение множеств комплексных чисел на плоскости
?
Сложность: 9 из 10