Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1805
i

3А. Рас­смат­ри­ва­ют­ся ком­плекс­ные числа z и u=z плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: z конец дроби .

а)  За­пи­ши­те в ал­геб­ра­и­че­ской форме все числа z такие, что u= минус i.

б)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же со­во­куп­ность всех чисел z таких, что \arg z= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и |u| мень­ше или равно 1.

в)  Пусть |z| мень­ше или равно 1. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние рас­сто­я­ния между точ­ка­ми ком­плекс­ной плос­ко­сти, со­от­вет­ству­ю­щи­ми z и u.

г)  Пусть |z|=1. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках, со­от­вет­ству­ю­щих z и u, и на­ча­ле ко­ор­ди­нат O.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем урав­не­ние z плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: z конец дроби = минус i рав­но­силь­но z в квад­ра­те плюс iz плюс 2=0.

б)  Пусть z=ki, где k боль­ше 0. Тогда u=ki плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ki конец дроби =ki минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: k конец дроби i; |u|=\left|k минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: k конец дроби | мень­ше или равно 1. От­сю­да

|k в квад­ра­те минус 2| мень­ше или равно k рав­но­силь­но минус k мень­ше или равно k в квад­ра­те минус 2 мень­ше или равно k рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний k в квад­ра­те плюс k минус 2 боль­ше или равно 0,k в квад­ра­те минус k минус 2 мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 1 мень­ше или равно k\leqslant2.

в)  Рас­сто­я­ние равно |u минус z|= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: |z| конец дроби , но |z| мень­ше или равно 1.

г)  Пусть A и B — точки, со­от­вет­ству­ю­щие чис­лам z и u. Тогда OA=1, AB=|u минус z|= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: |z| конец дроби =2. По­ка­жем, что угол OAB может быть равен 90 гра­ду­сов. Для этого до­ста­точ­но предъ­явить такое z, что |z|=1, а |u|=OB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та (тео­ре­ма, об­рат­ная тео­ре­ме Пи­фа­го­ра). Но пусть z= ко­си­нус \varphi плюс i синус \varphi, тогда

|u|= дробь: чис­ли­тель: |z в квад­ра­те плюс 2|, зна­ме­на­тель: |z| конец дроби =|z в квад­ра­те плюс 2|=| ко­си­нус 2\varphi плюс i синус 2\varphi плюс 2|=

 

= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2\varphi плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс синус в квад­ра­те 2\varphi конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс 4 ко­си­нус 2\varphi конец ар­гу­мен­та .

Если ко­си­нус 2\varphi=0, то |u|= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та . Итак, су­ще­ству­ет такое число z, что в тре­уголь­ни­ке OAB пря­мой угол OAB, но тем самым наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние пло­ща­ди — дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на OA умно­жить на AB=1.

 

Ответ: 3А. а) i, минус 2i; б) см. рис.; в) 2; г) 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1827

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми , Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025