1.  Дана функ­ция

а)  Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты (x, y) ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме

б)  До­ка­жи­те, что если то

в)  Най­ди­те все зна­че­ния c, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет ре­ше­ние.

г)  Пусть S пло­щадь части пер­во­го квад­ран­та, со­сто­я­щей из точек, ко­ор­ди­на­ты (x, y) ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству До­ка­жи­те, что

2.  Дана функ­ция

а)  Пусть a  =  1. Ре­ши­те урав­не­ние f(x)  =  f(2x).

б)  Пусть a > 2. Гра­фик функ­ции f похож на си­ну­со­и­ду, в част­но­сти, эта функ­ция мо­но­тон­на на тех же участ­ках, что и синус. До­ка­жи­те, что, од­на­ко, гра­фик y  =  f(x) не имеет цен­тра сим­мет­рии.

в)  Най­ди­те (в за­ви­си­мо­сти от a) наи­боль­шее зна­че­ние суммы

г)  Пусть a  =  −1. Рас­смот­рим мно­же­ство огра­ни­чен­ной осью абс­цисс и дугой гра­фи­ка y  =  f(x), Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная в точка яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной хорды, концы ко­то­рой лежат на рас­смат­ри­ва­е­мой дуге гра­фи­ка дан­ной функ­ции.

Отоб­ра­же­ние f со­по­став­ля­ет ком­плекс­но­му числу z число где и a  — не­ко­то­рые фик­си­ро­ван­ные ком­плекс­ные числа.

а)  Из­вест­но, что и Най­ди­те

б)  Из­вест­но, что Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство всех воз­мож­ных зна­че­ний при усло­вии, что

в)  Из­вест­но, что Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство всех зна­че­ний a, при ко­то­рых

г)  Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство всех зна­че­ний a, для ко­то­рых най­дет­ся такое зна­че­ние u, что со­от­вет­ству­ю­щее отоб­ра­же­ние f пе­ре­во­дит точки по­лу­плос­ко­сти в точки по­лу­плос­ко­сти

31 де­каб­ря 2001 года некто по­ло­жил в банк 100 000 руб­лей из рас­че­та 10% го­до­вых. Для про­сто­ты будем пред­по­ла­гать, что при всех опе­ра­ци­ях по вкла­ду округ­ле­ния не про­из­во­дят­ся.

а)  Опре­де­ли­те наи­боль­шую сумму, ко­то­рую можно еже­год­но 1 ян­ва­ря (на­чи­ная уже с 2002 года) сни­мать с этого счета, с тем, чтобы некто мог им поль­зо­вать­ся не­огра­ни­чен­но долго.

б)  Может ли быть, чтобы доход от этого вкла­да за не­ко­то­рые k по­сле­до­ва­тель­ных лет был равен до­хо­ду от него за n по­сле­ду­ю­щих лет? (День­ги со счета в те­че­ние всех этих лет не сни­ма­ют­ся.)

в)  Некто решил еже­год­но 1 ян­ва­ря (на­чи­ная с 2002 года) сни­мать со счета 9200 руб­лей. Смо­жет ли он поль­зо­вать­ся этим сче­том в те­че­ние 47 лет под­ряд? (В вы­чис­ле­ни­ях вам, воз­мож­но, при­дет­ся ис­поль­зо­вать сле­ду­ю­щие при­бли­жен­ные зна­че­ния ло­га­риф­мов и

г)  1 ян­ва­ря 2002 года некто за­клю­чил с бан­ком новый до­го­вор, со­глас­но ко­то­ро­му он обя­зу­ет­ся не сни­мать день­ги со счета в те­че­ние 5 лет, а вме­сто обыч­ных 10% го­до­вых по его счету будут на­чис­лять­ся в день. Можно ли утвер­ждать, что на этом счету через 5 лет будет бóльшая сумма, чем если бы эти день­ги ле­жа­ли на преж­них усло­ви­ях?

Пусть где ко­эф­фи­ци­ен­ты ве­ще­ствен­ны и среди них один яв­ля­ет­ся от­ри­ца­тель­ным, все осталь­ные  — по­ло­жи­тель­ны. Будем далее пред­по­ла­гать, что по­ло­жи­тель­ные корни мно­го­чле­на яв­ля­ют­ся про­сты­ми (дру­ги­ми сло­ва­ми, не крат­ны­ми).

а)  Может ли мно­го­член иметь более двух по­ло­жи­тель­ных кор­ней?

б)  Верно ли, что мно­го­член имеет един­ствен­ный по­ло­жи­тель­ный ко­рень тогда и толь­ко тогда, когда

в)  Пусть c  — по­ло­жи­тель­ный ко­рень мно­го­чле­на До­ка­жи­те, что ко­эф­фи­ци­ен­ты мно­го­чле­на от­ри­ца­тель­ны.

г)  Пусть До­ка­жи­те, что мно­го­член либо имеет ровно два по­ло­жи­тель­ных корня, либо не имеет их во­об­ще.