Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1751
i

3А. Рас­смат­ри­ва­ют­ся ком­плекс­ные числа z, z_1=\overlinez плюс 2i и u=z умно­жить на z_1.

а)  Най­ди­те все числа z такие, что u=0.

б)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство всех таких чисел z, что ве­ще­ствен­ная и мни­мая части числа z_1 равны.

в)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство всех таких чисел z, что ве­ще­ствен­ная и мни­мая части числа u равны.

г)  Пусть |z|=1. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние |u|.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Если zz_1=0, то либо z=0, либо z_1=0, то есть \overlinez плюс 2i=0, а зна­чит z=2i. Ответ: z=0 или z=2i.

б)  Если Re левая круг­лая скоб­ка z_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =Im левая круг­лая скоб­ка z_1 пра­вая круг­лая скоб­ка , то x=2 минус y. По­лу­ча­ем, что y=2 минус x  — урав­не­ние пря­мой.

в)  Если Re левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка =Im левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка , то

x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те минус 2y=2x рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x плюс y в квад­ра­те минус 2y=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x плюс 1 плюс y в квад­ра­те минус 2y плюс 1=2 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =2,

по­лу­ча­ем урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в точке 1 плюс i и ра­ди­у­сом ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

г)  По усло­вию ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =1, от­ку­да и x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =1. Тогда

\absu=\absx в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 2ix минус 2y=\abs1 плюс 2ix минус 2y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x в квад­ра­те плюс 4y в квад­ра­те минус 4y плюс 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4y плюс 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус 4y плюс 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус 4y конец ар­гу­мен­та ,

по­это­му для до­сти­же­ния ми­ни­маль­но­го зна­че­ния сле­ду­ет взять мак­си­маль­ное y. Для точек еди­нич­ной окруж­но­сти y мень­ше или равно 1 и для точки 0 плюс 1i по­лу­ча­ем ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус 4y конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус 4 конец ар­гу­мен­та =1.

 

Ответ: 3А. а) левая фи­гур­ная скоб­ка 0;2i пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) см. рис. 1; в) см. рис. 2; г) 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1773

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1993 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми , Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025