Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1716

2. Дна функция  f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 3 синус 2x плюс 2 косинус в квадрате x.

а) Вычислите  f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка .

б) Решите уравнение  3f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4 синус в квадрате x=0.

в) Найдите наибольшее значение функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

г) Найдите все положительные числа a такие, что выполнения неравенства  \left| x плюс дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби | меньше a достаточно для выполнения неравенства  f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 0.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем функцию:

f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 3 синус 2x плюс 2 косинус в квадрате x= корень из 3 синус 2x плюс 2 косинус в квадрате x минус 1 плюс 1= корень из 3 синус 2x плюс косинус 2x плюс 1.

а) Имеем:

f левая круглая скобка дробь: числитель: минус 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = корень из 3 синус дробь: числитель: минус 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: минус 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 1= корень из 3 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1=1 минус корень из 3.

б) Запишем уравнение в виде 3 левая круглая скобка корень из 3 синус 2x плюс 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 4 синус в квадрате x=0 и преобразуем его:

3 корень из 3 синус 2x плюс 6 косинус в квадрате x плюс 4 синус в квадрате x=0 равносильно 3 корень из 3 умножить на 2 синус x косинус x плюс 6 косинус в квадрате x плюс 4 синус в квадрате x=0 равносильно

 равносильно 2 синус в квадрате x плюс 3 корень из 3 синус x косинус x плюс 3 косинус в квадрате x=0.

Разделим его на  косинус в квадрате x — оно однородное — получим

2 тангенс в квадрате x плюс 3 корень из 3 тангенс x плюс 3=0.

Обозначим  тангенс x=t, получаем

2t в квадрате плюс 3 корень из 3t плюс 3=0 равносильно левая круглая скобка t плюс корень из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс корень из 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t= минус корень из 3,t= минус дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Вернемся к исходной переменной:

 совокупность выражений тангенс x= минус корень из 3, тангенс x= минус дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, минус арктангенс дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

в) Последовательно получим:

f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 3 синус 2x плюс косинус 2x плюс 1=1 плюс 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x плюс дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x правая круглая скобка =

 =1 плюс 2 левая круглая скобка синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби косинус 2x плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус 2x правая круглая скобка = 1 плюс 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка меньше или равно 1 плюс 2 умножить на 1=3,

и это значение достигается, когда  синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка =1.

г) Имеем:

f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 3 синус 2x плюс 2 косинус в квадрате x=2 корень из 3 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x=2 косинус x левая круглая скобка корень из 3 синус x плюс косинус x правая круглая скобка .

Если x= дробь: числитель: минус 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби , то первый множитель положителен, а значит второй отрицателен (ведь f левая круглая скобка дробь: числитель: минус 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =1 минус корень из 3 меньше 0 ). Если уменьшать x, то  косинус x останется положительным до точки x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , а второй множитель будет отрицательным минимум до той же точки (в четвертой четверти и  синус x и  косинус x возрастают, поэтому при уменьшении x значение второго множителя уменьшается). Если же зайти за точку x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , то оба множителя станут отрицательны и неравенство нарушится.

Если же увеличивать x, то  синус x и  косинус x будут увеличиваться, пока наконец в точке x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби выражение  корень из 3 синус x плюс косинус xне станет нулем. Значит, до этого момента знак не менялся. Значит, в сторону уменьшения x можно отходить не более чем на  дробь: числитель: минус 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби . В сторону увеличения на столько отойти можно (и даже сильно больше, на  дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: минус 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби но это уже неважно).

Ответ: 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби (первое условие задает положительность a, которая тоже требуется в задаче).

 

Ответ: а)  1 минус корень из 3; б)  левая фигурная скобка минус арктангенс дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; в) 3; г)  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1711

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции, Исследование функций, Неравенства с параметром, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 9 из 10