Вариант № 414

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1993 год, вариант 2

Из пред­ло­жен­ных сю­же­тов не­об­хо­ди­мо ре­шить пер­вые два, из остав­ших­ся сю­же­тов сле­ду­ет вы­брать один. Таким об­ра­зом по­лу­чит­ся три сю­же­та: два обя­за­тель­ных и один вы­бран­ный. Всего 12 пунк­тов. Для по­лу­че­ния оцен­ки «5» до­ста­точ­но верно и пол­но­стью ре­шить любые 10 пунк­тов из 12. Про­дол­жи­тель­ность эк­за­ме­на 5 аст­ро­но­ми­че­ских часов.


Версия для печати и копирования в MS Word
1

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x минус ко­си­нус 2x.

а)  До­ка­жи­те ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус x плюс 1 конец дроби =1 минус ко­си­нус x.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус x=0.

в)  Най­ди­те все ре­ше­ния не­ра­вен­ства f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1 из от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

г)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a имеет че­ты­ре корня на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
2
 № 1772
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: \log _3 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на \log _3 левая круг­лая скоб­ка 9x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \log _3 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3\log _ ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: \log _ ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 2 конец дроби .

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 1,25.

в)  Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3
 № 1773
i

3А. Рас­смат­ри­ва­ют­ся ком­плекс­ные числа z, z_1=\overlinez минус 2 и u=z умно­жить на z_1.

а)  Най­ди­те все числа z такие, что u=0.

б)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство всех таких чисел z, что ве­ще­ствен­ная и мни­мая части числа z_1 про­ти­во­по­лож­ны.

в)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство всех таких чисел z, что ве­ще­ствен­ная и мни­мая части числа u равны.

г)  Пусть |z|=1. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние |u|.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4

3Б. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2|x минус 4| минус левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

а)  По­строй­те гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те зна­че­ние при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 2 до 4, f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx.

в)  На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой l, ка­са­ю­щей­ся гра­фи­ка функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в двух раз­лич­ных точ­ках.

г)  Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и пря­мой l.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5
 № 1775
i

3В. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та .

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 при b=1.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4=0 при b=1.

в)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра b си­сте­ма урав­не­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка y= минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы . имеет ре­ше­ния.

г)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра b не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 не имеет ре­ше­ний.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить работу, свериться с ответами, увидеть решения.


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025