Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1712

3А. Рассматриваются комплексные числа z и  z_1=2 минус z

а) Пусть  z=10 . Запишите в алгебраической форме все числа a такие, что  a в кубе =z_1 .

б) Изобразите на чертеже множество всех комплексных чисел z таких, что  (\overlinez минус z_1)(\overlinez минус z)=0 .

в) Пусть  |z|=1 . Изобразите на чертеже множество всех чисел  z_1 .

г) Пусть  |z|=1 . Найдите все числа z такие, что начало координат O и точки, соответствующие числам z,  z_1 и  \barz , лежат на одной окружности.

Спрятать решение

Решение.

Пусть z=x плюс yi, тогда z_1=2 минус z=2 минус x минус yi.

а) Если z=10, то z_1=2 минус 10= минус 8. Решим уравнение

a в кубе = минус 8. равносильно a в кубе плюс 8=0 равносильно (a плюс 2)(a в квадрате минус 2a плюс 4)=0.

Либо a= минус 2, либо a в квадрате минус 2a плюс 4=0: a=1\pm корень из (1 минус 4) =1\pm корень из ( минус 3) =1\pm корень из (3) i. Поэтому a= минус 2, a=1\pm корень из (3) i.

б) Если (\overlinez минус z_1)(\overlinez минус z)=0, то либо \overlinez минус z_1=0, либо \overlinez минус z=0. То есть либо \overlinez=z_1, либо \overlinez=z.

Первое уравнение дает x минус yi=2 минус x минус yi, откуда x=1 — это вертикальная прямая.

Второе уравнение дает x минус yi=x плюс yi, откуда y=0 — это горизонтальная ось (см. левый рисунок).

в) Заметим, что цепочка преобразований z\mapsto минус z\mapsto 2 минус z сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на 2. Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на 2 (она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке 2) (см. правый рисунок).

г) Если z не равно 0 вещественное число, то точки z,0,2 минус z лежат на горизонтальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то либо z=1, либо z=2 (не лежит на окружности \absz=1). В первом случае получаем точки (0;1) и (1;1), то есть всего две различных точки. Этот случай годится.

Если же z не вещественное, то z не равно \overlinez и точки z и \overlinez симметричны относительно горизонтальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и \overlinez, лежит на ней.

Далее, z_1=2 минус x минус yi, а \overlinez=x минус yi, отсюда видно, что при x не равно 1 (а если x=1 и при этом точка лежит на единичной окружности, то z=1, этот случай уже разобран) отрезок, соединяющий эти точки, горизонтален, поэтому серединный перпендикуляр к нему - вертикальная прямая, проходящая через  дробь: числитель: 2 минус x плюс x, знаменатель: 2 конец дроби =1. Итак, центром окружности должна быть точка 1. Значит, радиус окружности равен \abs1 минус 0=1.

По условию расстояние от точки z до точек 0 и 1 должно быть равно 1, поэтому треугольник с вершинами 0,1,z — равносторонний и имеет углы по 60 в степени (\circ) . Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов

z=1( косинус 60 в степени (\circ) плюс i синус 60 в степени (\circ) )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби i,

z=1( косинус ( минус 60 в степени (\circ) ) плюс i синус ( минус 60 в степени (\circ) ))= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби i.

Эти точки подходят, поскольку для них \overlinez просто заменяет одну из них на другую (так что расстояния до точки 1 остаются равными 1) и

\abs2 минус z минус 1=\abs1 минус z=\absz минус 1=\abs дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби i минус 1=\abs минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби i= корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ) =1.

Ответ: z=1, z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби i.

 

Ответ: а)  минус 2,  1 плюс i корень из (3) ,  1 минус i корень из (3) ; б) см. рис.; в) см. рис.; г)  \left\ 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби i \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1717

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
? Классификатор: Действия над комплексными числами , Изображение множеств комплексных чисел на плоскости
?
Сложность: 9 из 10