РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 1802

3В. Дано комплексное число $b=1 минус i.$

а)  Изобразите на чертеже множество всех таких комплексных чисел z, что $|z минус b|=|b|.$

б)  Проверьте, являются ли числа b и $минус b$ корнями уравнения $3z в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс z в кубе минус z в квадрате плюс 14=0.$

в)  Изобразите на чертеже множество K всех комплексных чисел z таких, что $\barb\barz минус bz=|b|i.$

г)  Найдите наименьшее значение выражения $|z плюс b| плюс |z минус b|$ для $z принадлежит K.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $z=x плюс yi.$

а)  Имеем:

$\absz минус b=\absb равносильно \absz минус b= корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 1 в квадрате конец аргумента равносильно \absz минус b= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

В левой части написано расстояние между точками z и b. Поэтому искомое множество  — окружность с центром в $b=1 минус i$ и радиусом $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ (cм. левый рисунок).

б)  Получаем:

$b в квадрате = левая круглая скобка 1 минус i правая круглая скобка в квадрате =1 минус 2i плюс i в квадрате =1 минус 2i минус 1= минус 2i,$ $левая круглая скобка минус b правая круглая скобка в квадрате =b в квадрате ,$

$b в кубе =b в квадрате умножить на b= минус 2i левая круглая скобка 1 минус i правая круглая скобка = минус 2i плюс 2i в квадрате = минус 2i минус 2,$ $левая круглая скобка минус b правая круглая скобка в кубе = минус b в кубе =2 плюс 2i,$

$b в степени 4 = левая круглая скобка b в квадрате правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка минус 2i правая круглая скобка в квадрате =4i в квадрате = минус 4,$ $левая круглая скобка минус b правая круглая скобка в степени 4 =b в степени 4 .$

Теперь подставим в данное уравнение $z=b$

$3 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 2i минус 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 2i правая круглая скобка плюс 14= минус 12 минус 2i минус 2 плюс 2i плюс 14=0,$

$z=b$ является корнем.

Теперь подставим в данное уравнение $z= минус b$

$3 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2i плюс 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 2i правая круглая скобка плюс 14= минус 12 плюс 2i плюс 2 плюс 2i плюс 14=4 плюс 4i,$

$z= минус b$ не является корнем.

в)  Последовательно получаем:

$\overlineb\overlinez минус bz= левая круглая скобка 1 плюс i правая круглая скобка левая круглая скобка x минус yi правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 минус i правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс yi правая круглая скобка =x плюс ix минус iy минус yi в квадрате минус x плюс ix минус iy плюс yi в квадрате =2ix минус 2iy.$ $\overlineb\overlinez минус bz= левая круглая скобка 1 плюс i правая круглая скобка левая круглая скобка x минус yi правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 минус i правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс yi правая круглая скобка =$
$=x плюс ix минус iy минус yi в квадрате минус x плюс ix минус iy плюс yi в квадрате =2ix минус 2iy.$

По условию, $2ix минус 2iy= корень из 2 i$ или $2x минус 2y= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Это уравнение прямой $y=x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ (см. правый рисунок).

г)  Заметим, что точки b и $минус b$ лежат по разные стороны от построенной прямой, поэтому соединяющий их отрезок пересекает эту прямую. $\absz минус b плюс \absz плюс b=\absz минус b плюс \absz минус левая круглая скобка минус b правая круглая скобка$   — сумма расстояний от точки z до точек b и $минус b.$ По неравенству треугольника она не меньше расстояния между точками b и $минус b,$ равного $\absb минус левая круглая скобка минус b правая круглая скобка =\abs2b=2\absb=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и это значение достигается в точке пересечения данного отрезка и прямой из предыдущего пункта.

Ответ: а) см. рис.; б) число b  — корень уравнения; в) см. рис.; г) $2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 1802

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 2

? Классификатор: Действия над комплексными числами , Изображение множеств комплексных чисел на плоскости

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь