Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1717

3А. Рассматриваются комплексные числа z и  z_1=2i минус z.

а) Пусть  z=10i. Запишите в алгебраической форме все числа b такие, что  b в кубе =z_1.

б) Изобразите на чертеже множество всех комплексных чисел z таких, что  левая круглая скобка \barz плюс z_1 правая круглая скобка левая круглая скобка \barz плюс z правая круглая скобка =0.

в) Пусть  |z|=1. Изобразите на чертеже множество всех чисел  z_1.

г) Пусть  |z|=1. Найдите все числа z такие, что начало координат O и точки, соответствующие числам z,  z_1 и  минус \barz, лежат на одной окружности.

Спрятать решение

Решение.

Пусть z=x плюс yi, тогда z_1=2i минус z=2i минус x минус yi.

а) Если z=10i, то z_1=2i минус 10i= минус 8i. Решим уравнение

a в кубе = минус 8i равносильно a в кубе плюс 8i=0 равносильно a в кубе минус 8i в кубе =0 равносильно левая круглая скобка a минус 2i правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс 2ia минус 4 правая круглая скобка =0.

Либо a=2i, либо a в квадрате плюс 2ia минус 4=0: a= минус i\pm корень из минус 1 плюс 4= минус i\pm корень из 3.

Ответ: a=2i, a=\pm корень из 3 минус i.

б) Если  левая круглая скобка \overlinez плюс z_1 правая круглая скобка левая круглая скобка \overlinez плюс z правая круглая скобка =0, то либо \overlinez плюс z_1=0, либо \overlinez плюс z=0. То есть либо \overlinez= минус z_1, либо \overlinez= минус z.

Первое уравнение дает x минус yi=x плюс yi минус 2i, откуда 2yi=2i равносильно y=1 — это горизонтальная прямая.

Второе уравнение дает x минус yi= минус x минус yi, откуда x=0 — это вертикальная ось (см. левый рисунок).

в) Заметим, что цепочка преобразований z\mapsto минус z\mapsto 2i минус z сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на 2i. Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на 2i (она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке 2i) (см. правый рисунок).

г) Если z чисто мнимое число, то точки z,0,z_1=2i минус z лежат на вертикальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то z=0, 2i минус z=0 или z=2i минус z, то есть z=0, z=2i, z=i. Только последняя из них лежит на единичной окружности, и для нее получаются точки  левая круглая скобка 0;i правая круглая скобка и  левая круглая скобка i;i правая круглая скобка , всего две различных точки. Этот случай годится.

Если же z не чисто мнимое, то z не равно минус \overlinez и точки z и  минус \overlinez симметричны относительно вертикальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и  минус \overlinez, лежит на ней.

Далее, z_1=2i минус x минус yi, а  минус \overlinez= минус x плюс yi, отсюда видно, что при y не равно 1 (а если y=1 и при этом точка лежит на единичной окружности, то z=i, этот случай уже разобран) отрезок, соединяющий эти точки, вертикален, поэтому серединный перпендикуляр к нему — горизонтальная прямая, проходящая через  дробь: числитель: 2 минус y плюс y, знаменатель: 2 конец дроби умножить на i=i. Итак, центром окружности должна быть точка i. Значит, радиус окружности равен \absi минус 0=1.

По условию расстояние от точки z до точек 0 и i должно быть равно 1, поэтому треугольник с вершинами 0,i,z — равносторонний и имеет углы по 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка . Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов (угол 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка с вертикальной осью дает угол 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка с горизонтальной)

z=1 левая круглая скобка косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс i синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби i,

z=1 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка 150 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс i синус левая круглая скобка 150 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка = минус дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби i.

Эти точки подходят, поскольку для них  минус \overlinez просто заменяет одну из них на другую (так что расстояния до точки i остаются равными 1) и

\abs2i минус z минус i=\absi минус z=\absz минус i=\abs\pm дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби i минус i=\abs\pm дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби i= корень из дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби =1.

Ответ: z=i, z=\pm дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби i.

 

Ответ: а)  2i,  минус корень из 3 минус i,  корень из 3 минус i; б) см. рис.; в) см. рис.; г)  левая фигурная скобка i;\pm дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби i правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1712

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 2
? Классификатор: Действия над комплексными числами , Изображение множеств комплексных чисел на плоскости
?
Сложность: 9 из 10