Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ко­мую функ­цию:

а)  Возь­мем про­из­вод­ную:

что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет на от­рез­ке и убы­ва­ет на от­рез­ке по­это­му ее наи­мень­шее зна­че­ние равно

б)  Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку в точке с абс­цис­сой имеет вид то есть

Эта пря­мая долж­на про­хо­дить через точку от­ку­да

Урав­не­ние ка­са­тель­ной при имеет вид (ка­са­тель­ная го­ри­зон­таль­на, по­сколь­ку   — точка экс­тре­му­ма).

Урав­не­ние ка­са­тель­ной при имеет вид

в)  Най­дем сна­ча­ла точки пе­ре­се­че­ния. Пря­мые и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик в пер­вой чет­вер­ти толь­ко при (по­сколь­ку при про­чих по­лу­ча­ем из пунк­та а что ). На­ко­нец, решим урав­не­ние

Одним из его кор­ней, как мы знаем, будет (это ведь ка­са­тель­ная в точке ). Зна­чит, у мно­го­чле­на в левой части есть мно­жи­тель Вы­де­лим его

Нас ин­те­ре­су­ет толь­ко вто­рой ко­рень.

Ясно, что в пер­вой чет­вер­ти пря­мая про­хо­дит выше пря­мой и что функ­ция воз­рас­та­ет на а убы­ва­ет там же. Зна­чит, об­ласть огра­ни­че­на снизу ли­ни­ей на от­рез­ке а свер­ху на от­рез­ке   — пря­мой а на от­рез­ке   — ли­ни­ей Про­ве­дем вер­ти­каль­ный от­ре­зок от точки до точки Он от­се­чет от об­ла­сти пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник пло­ща­ди Зна­чит, вся пло­щадь равна

г)  Пря­мые про­хо­дят через точку и имеют тем боль­ший на­клон, чем боль­ше k. Тогда они пе­ре­се­ка­ют гра­фик убы­ва­ю­щей на от­рез­ке функ­ции тем рань­ше, чем боль­ше k. При точка пе­ре­се­че­ния имеет абс­цис­су 1 (см. пункт б). Вы­яс­ним, когда абс­цис­са по­па­дет в про­ме­жу­ток

Так как

пря­мая прой­дет через точку если

Так как

пря­мая прой­дет через точку если

Зна­чит под­хо­дят все Мы рас­смат­ри­ва­ем толь­ко из них под­хо­дят Итак, из от­рез­ка дли­ной 5 под­хо­дят точки от­рез­ка дли­ной 3, по­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность

 

Ответ: а) 1,5; б) в) г) 0,4.