Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1730

3Б. Даны числа z_0=1 плюс i корень из 3 и z_1=2.

а) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что |z минус z_0|=1.

б) Изобразите на чертеже множество P всех таких комплексных чисел z, что |z минус z_0|=|z минус z_1|.

в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в P.

г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наибольшем модулем.

Спрятать решение

Решение.

а) По условию, расстояние между z и z_0=1 плюс i корень из 3 должно быть не больше единицы, поэтому ответом будет круг с центром в 1 плюс i корень из 3 и радиусом 1 (см. рисунок).

б) По условию, z равноудалена от 1 плюс i корень из 3 и 2, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к соединяющему их отрезку (см. рисунок).

в) Пусть z=x плюс yi, тогда первое условие дает \absx плюс yi минус 1 минус i корень из 3=1, значит,  левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус корень из 3 правая круглая скобка в квадрате =1. Второе условие дает \absx плюс yi минус 1 минус i корень из 3=\absx плюс yi минус 2, значит,

 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате равносильно
 равносильно x в квадрате минус 2x плюс 1 плюс y в квадрате минус 2 корень из 3y плюс 3=x в квадрате минус 4x плюс 4 плюс y в квадрате равносильно 2x минус 2 корень из 3y=0 равносильно x= корень из 3y.

Подставляя это в первое уравнение, получим

 левая круглая скобка корень из 3y минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус корень из 3 правая круглая скобка в квадрате =1 равносильно 3y в квадрате минус 2 корень из 3y плюс 1 плюс y в квадрате минус 2 корень из 3y плюс 3=1 равносильно
 равносильно 4y в квадрате минус 4 корень из 3y плюс 3=0 равносильно левая круглая скобка 2y минус корень из 3 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно 2y= корень из 3 равносильно y= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби ,

значит, x=y корень из 3= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . Итак, z= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби i (окружность и прямая касаются. Это неудивительно, поскольку \absz_0 минус z_1=2, а радиус окружности вдвое меньше).

г) Для точек на окружности наибольшее расстояние от начала координат будет для точки, лежащей на луче OZ_0. Сам луч, проходящий через точки  левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка и  левая круглая скобка 1; корень из 3 правая круглая скобка имеет уравнение y= корень из 3x. Найдем точки его пересечения с окружностью, подставив такое y в ее уравнение

 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус корень из 3 правая круглая скобка в квадрате =1 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из 3x минус корень из 3 правая круглая скобка в квадрате =1 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =1 равносильно
 равносильно больше 4 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =1 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно x минус 1=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=1\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Ясно, что для x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби получится более удаленная от начала координат точка z= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 3 корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби i.

Ответ: а) см. рис., б) см. рис., в)  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: i корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби , г)  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 3 корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1708

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2
? Классификатор: Действия над комплексными числами , Изображение множеств комплексных чисел на плоскости
?
Сложность: 9 из 10