3А. Дано выражение 
и множество M комплексных чисел, удовлетворяющих условию 
Точка K комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу z, обозначается 
а) Изобразите на чертеже множество M.
б) Пусть 
Найдите все корни уравнения 
принадлежащие множеству M.
в) Изобразите на чертеже множество комплексных чисел 
где 
г) Пусть 
Найдите все вещественные числа a, при которых уравнение 
имеет такой корень 
что в четырехугольник OABC можно вписать окружность.
Упростим сначала условие
Пусть 
тогда
а) Как следует из вышесказанного, множество M — это прямая 
(см. рисунок).
б) Подставляя 
получаем уравнение
В множестве M из них лежит только 
в) Поскольку 
запишем его в виде 
Тогда 
То есть в этом множестве лежат точки, у которых координаты отличаются только знаком. Значит, это прямая 
(см. рисунок).
г) Для того, чтобы четырехугольник был описанным, нужно чтобы он был выпуклым и суммы его противоположных сторон были равны. То есть 
Пусть далее 
Получаем
Итак, подходящие 
обязаны иметь вид 
(но не все такие могут подходить, поскольку может не получаться выпуклого четырехугольника). Подставим такое в уравнение, где a — вещественно
Следовательно, 
и 
Второе уравнение дает 
или 
Если 
то 
эта точка в любом случае не подходит, можно даже не искать a.
Если же 
то первое уравнение превращается в
или 
Нетрудно видеть (см. рис.), что первая точка не подходит (поскольку O оказывается внутри треугольника ABC), вторая подходит. Для нее 
Ответ:
Ответ: а) см. рис.; б) 
в) см. рис.; г) 
Задание парного варианта: 1874