Вариант № 415

Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1

Из пред­ло­жен­ных сю­же­тов не­об­хо­ди­мо ре­шить пер­вые два, из остав­ших­ся сю­же­тов сле­ду­ет вы­брать один. Таким об­ра­зом по­лу­чит­ся три сю­же­та: два обя­за­тель­ных и один вы­бран­ный. Всего 12 пунк­тов. Для по­лу­че­ния оцен­ки «5» до­ста­точ­но верно и пол­но­стью ре­шить любые 10 пунк­тов из 12. Про­дол­жи­тель­ность эк­за­ме­на 5 аст­ро­но­ми­че­ских часов.


Версия для печати и копирования в MS Word
1

Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 синус x ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 2 синус x на ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка минус Пи ; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Вы­яс­ни­те, сколь­ко кор­ней имеет урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус x минус a конец дроби =0 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка в за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ра a.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
2
 № 1794
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 конец дроби .

а)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: \log _35, зна­ме­на­тель: \log _32 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3.

в)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  По­строй­те гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на луче левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3

3А. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус x плюс 4.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2x.

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3x минус 2 конец дроби боль­ше или равно 1.

в)  Про­верь­те, яв­ля­ет­ся ли точка с ко­ор­ди­на­та­ми левая круг­лая скоб­ка 2,5;3 пра­вая круг­лая скоб­ка се­ре­ди­ной ка­ко­го-либо от­рез­ка, концы ко­то­ро­го лежат на гра­фи­ке функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что функ­ция g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка яв­ля­ет­ся чет­ной.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4

3Б. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби .

а)  Най­ди­те пер­во­об­раз­ную функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на мно­же­стве левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , гра­фик ко­то­рой про­хо­дит через точку A левая круг­лая скоб­ка 1; минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  По­строй­те гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Про­верь­те, яв­ля­ет­ся ли пря­мая l, за­дан­ная урав­не­ни­ем y= минус 15x плюс 23,5, ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , осью абс­цисс и пря­мы­ми l и x=3.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5
 № 1797
i

3В. Дано ком­плекс­ное число a=1 плюс i.

а)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство всех таких ком­плекс­ных чисел z, что |z плюс a|=|a|.

б)  Про­верь­те, яв­ля­ют­ся ли числа a и минус a кор­ня­ми урав­не­ния z в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3z в кубе минус 3z в квад­ра­те плюс 10=0.

в)  Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство M всех ком­плекс­ных чисел z таких, что a\barz плюс \baraz=|a|.

г)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния |z минус a| плюс |z плюс a| для z при­над­ле­жит M.


Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить работу, свериться с ответами, увидеть решения.


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025