3А. Рассматривается множество A комплексных чисел z, задаваемое неравенством 
а) Изобразите на чертеже множество A.
б) Найдите все корни уравнения 
принадлежащие множеству A.
в) Изобразите на чертеже множество B всех чисел u таких, что 
где 
г) Найдите все пары чисел 
таких, что 
а) Искомое неравенство означает, что расстояние от z до
не больше 1 и задает круг с центром в точке 
радиуса 1.
б) Решим уравнение:
Ясно, что точка 
лежит ниже вещественной оси и в круг не попадает, а точка 
лежит в A, поскольку
Так что эта точка лежит на границе круга.
в) Заметим, что
а модуль удваивается. Значит, вся картинка поворачивается на 
против часовой стрелки и затем «раздувается» в два раза от начала координат (такое преобразование называется «поворотная гомотетия»). Ясно, что при этом получается круг радиуса 2, осталось лишь найти его центр. Поскольку центр A это точка
г) Поскольку множество A симметрично относительно вертикальной оси, можно просто выяснить точки, подходящие в условие 
а потом еще взять симметричные точки в A — для них дробь 
просто изменит знак и они тоже подойдут в исходное уравнение.
Если 
то 
тем самым вопрос свелся к такому — какие прямые, проходящие через начало координат (с уравнением 
) пересекают оба круга и в каких точках?
Мы уже знаем, что угол между прямой, проходящей через начало координат и центр B и касательной к B равен 
Поэтому если провести обе касательные из начала координат, угол между ними составит 
При преобразованиях, давших круг B, этот угол не менялся. Поэтому прямая, проходящая под углом 
через начало координат касается обеих окружностей. Поскольку они лежат по разные стороны от нее и при этом внутри угла, меньшего 
с вершиной в начале координат, она и будет единственной прямой, пересекающей обе окружности.
Найдем теперь точки касания ее с окружностями. Длина отрезка другой касательной к окружности B равна 
значит, длина этой такая же. Тогда сама эта точка будет
Точка ее касания с A очевидно расположена вдвое ближе к началу координат, так что это 
Окончательно: 
Ответ: а) см. рис.; б) 
в) см. рис.; г) 
и 
Задание парного варианта: 1849