№ 1711 
Санкт-петербургские выпускные экзамены. Углубленная программа. 2. Тригонометрия
i
2. Дана функция 
а) Вычислите 
б) Решите уравнение 
в) Найдите наименьшее значение функции 
г) Найдите все положительные числа a такие, что выполнения неравенства 
достаточно для выполнения неравенства 
Решение. Преобразуем функцию:
а) Имеем:
б) Запишем уравнение в виде 
и преобразуем его:
Разделим его на 
— оно однородное — получим
Обозначим 
получаем
Вернемся к исходной переменной:
в) Последовательно получим:
и это значение достигается, когда
г) Имеем:
Если 
то оба множителя положительны. Если увеличивать x, то 
останется положительным до точки 
а второй множитель будет положительным минимум до той же точки (в первой четверти возрастает, а 
убывает, поэтому разность возрастает. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому разность положительна).
Если же уменьшать x, то будет уменьшаться, а увеличиваться, пока наконец в точке 
они не сравняются. После этой точки первый множитель все еще будет положителен, а второй отрицателен и неравенство нарушится. Значит, в сторону уменьшения x можно отходить не более чем на 
В сторону увеличения на столько отойти можно (и даже сильно больше, но это уже неважно).
Тем самым 
(первое условие задает положительность a, которая тоже требуется в задаче).
Ответ: а) 1; б) 
в) 
г) 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Задание парного варианта: 1716
