Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1711

2. Дана функция  f(x)=2 синус в квадрате x минус синус 2x

 

а) Вычислите  f левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .

б) Решите уравнение  f(x)=4 косинус в квадрате x .

в) Найдите наименьшее значение функции  f(x) .

г) Найдите все положительные числа a такие, что выполнения неравенства  \left| x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби | меньше a достаточно для выполнения неравенства  f(x) больше 0 .

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем функцию:

f(x)=2 синус в квадрате x минус синус 2x=1 плюс (2 синус в квадрате x минус 1) минус синус 2x=1 минус косинус 2x минус синус 2x.

а) Имеем:

f левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка =1 минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби =1 плюс дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби =1.

б) Запишем уравнение в виде 2 синус в квадрате x минус синус 2x=4 косинус в квадрате x и преобразуем его:

2 синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x минус 4 косинус в квадрате x=0.

Разделим его на  косинус в квадрате x — оно однородное — получим

2 тангенс в квадрате x минус 2 тангенс x минус 4=0.

Обозначим  тангенс x=t, получаем

2t в квадрате минус 2t минус 4=0 равносильно t в квадрате минус t минус 2=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t=2. конец совокупности .

Вернемся к исходной переменной:

 совокупность выражений тангенс x= минус 1, тангенс x=2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,x=\arctg 2 плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

в) Последовательно получим:

f(x)=1 минус косинус 2x минус синус 2x=1 минус корень из (2) левая круглая скобка дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x плюс дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби синус 2x правая круглая скобка =
= 1 минус корень из (2) левая круглая скобка синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби косинус 2x плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби синус 2x правая круглая скобка = 1 минус корень из (2) синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка больше или равно 1 минус корень из (2) умножить на 1=1 минус корень из (2) ,

и это значение достигается, когда  синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка =1.

г) Имеем:

f(x)=2 синус в квадрате x минус синус 2x=2 синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x=2 синус x( синус x минус косинус x).

Если x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби , то оба множителя положительны. Если увеличивать x, то  синус x останется положительным до точки x= Пи , а второй множитель будет положительным минимум до той же точки (в первой четверти  синус x возрастает, а  косинус x убывает, поэтому разность возрастает. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому разность положительна).

Если же уменьшать x, то  синус x будет уменьшаться, а  косинус x увеличиваться, пока наконец в точке x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби они не сравняются. После этой точки первый множитель все еще будет положителен, а второй отрицателен и неравенство нарушится. Значит, в сторону уменьшения x можно отходить не более чем на  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби . В сторону увеличения на столько отойти можно (и даже сильно больше, но это уже неважно).

Тем самым 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби (первое условие задает положительность a, которая тоже требуется в задаче).

 

Ответ: а) 1; б)  \left\ \arctg 2 плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z \; в)  1 минус корень из (2) ; г)  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1716

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Исследование функций, Тригонометрические уравнения , Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 9 из 10