Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1859
i

3А. Рас­смат­ри­ва­ет­ся ком­плекс­ные числа z и u=z минус |z| в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Най­ди­те все числа z такие, что u=0.

б)  Изоб­ра­зи­те на ком­плекс­ной плос­ко­сти со­во­куп­ность всех чисел z таких, что \text Re u=\text Im u.

в)  Пусть |z|=1. Изоб­ра­зи­те на ком­плекс­ной плос­ко­сти со­во­куп­ность всех чисел u.

г)  Пусть слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ет­ся число z такое, что |z|=1. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что при этом |u| мень­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть z=x плюс iy, тогда u=x минус x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те плюс iy. Ясно, что u=0 тогда и толь­ко тогда, когда y=0, а x=0 или x=1.

б)  Тре­бу­ет­ся по­стро­ить со­во­куп­ность точек с ко­ор­ди­на­та­ми левая круг­лая скоб­ка x; y пра­вая круг­лая скоб­ка та­ки­ми, что

x минус x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те минус y=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Это окруж­ность ра­ди­у­са дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби с цен­тром в точке левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Ясно, что u=z минус 1. По­это­му ис­ко­мая фи­гу­ра по­лу­ча­ет­ся па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом на 1 влево из дан­но­го мно­же­ства |z|=1. Ис­ко­мое мно­же­ство  — окруж­ность ра­ди­у­са 1 с цен­тром в точке левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Ясно, что до­ста­точ­но найти от­но­ше­ние длины дуги еди­нич­ной окруж­но­сти |z|=1, ле­жа­щей в круге |z минус 1| мень­ше или равно 1, к длине этой окруж­но­сти (см. рис.). На чер­те­же A и C — это точки пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей |z|=1 и |z минус 1|=1, B — точка, со­от­вет­ству­ю­щая 1. Ясно, что тре­уголь­ник OAB рав­но­сто­рон­ний, по­это­му \angle AOC=120 гра­ду­сов.

Ответ:3А. а) z=0, z=1; б) см. рис.; в) см. рис.; г) дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1864

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1999 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми , Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025