3.  Мно­же­ство C точек ком­плекс­ной плос­ко­сти за­да­но урав­не­ни­ем

а)  На­ри­суй­те мно­же­ство C.

б)  Най­ди­те такие точки рас­сто­я­ние от ко­то­рых до мни­мой оси равно 

в)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний при

г)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний в при

3.  Даны три ком­плекс­ных числа:

а)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки до фи­гу­ры, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем

б)  Изоб­ра­зи­те мно­же­ство точек z ком­плекс­ной плос­ко­сти, таких, что

в)  Пусть z про­бе­га­ет все точки от­рез­ка с кон­ца­ми а U и V  — мно­же­ства точек, ко­то­рые про­бе­га­ют при этом и Изоб­ра­зи­те пе­ре­се­че­ние мно­жеств U и V.

г)  Пусть z про­бе­га­ет все точки от­рез­ка с кон­ца­ми Изоб­ра­зи­те мно­же­ство всех точек, ко­то­рое про­бе­га­ет при этом

4.  Пусть   — точки плос­ко­сти (здесь z  — ком­плекс­ное число).

а)  До­ка­жи­те, что если то (O  — на­ча­ло ко­ор­ди­нат).

б)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку с вер­ши­на­ми в точ­ках 0, 1 и ком­плекс­ной плос­ко­сти.

в)  Пусть Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний ра­ди­у­сов окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ка ABC.

г)  При каком зна­че­нии z, где пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

4.  Пусть S  — мно­же­ство ком­плекс­ных чисел, мо­дуль ко­то­рых равен еди­ни­це.

а)  До­ка­жи­те, что все ре­ше­ния урав­не­ния при­над­ле­жат мно­же­ству S.

б)  Най­ди­те все ре­ше­ния урав­не­ния ко­то­рые лежат в S.

в)  Най­ди­те все дей­стви­тель­ные a, при ко­то­рых урав­не­ние имеет ре­ше­ния, ле­жа­щие в S.

г)  Най­ди­те все зна­че­ния при ко­то­рых урав­не­ние имеет ре­ше­ния, ле­жа­щие в S.

5.  Пусть   — точки плос­ко­сти, со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным ком­плекс­ным чис­лам,   — окруж­ность а   — мно­же­ство ком­плекс­ных чисел, за­дан­ное не­ра­вен­ством

а)  До­ка­жи­те, что сумма квад­ра­тов рас­сто­я­ний от точки до точек по­сто­ян­на.

б)  Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти точки и мно­же­ство ком­плекс­ных чисел вида где

в)  Най­ди­те такую точку и все такие рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ни­ки с вер­ши­на­ми на для ко­то­рых сумма квад­ра­тов рас­сто­я­ний от их вер­шин до E наи­боль­шая.

г)  Вы­яс­ни­те, верно ли, что для вся­кой точки w, ле­жа­щей в тре­уголь­ни­ке ABC, най­дет­ся такое число что где

4.   Пусть   — точки плос­ко­сти, изоб­ра­жа­ю­щие ком­плекс­ные числа u, v, w.

а)  Пусть Най­ди­те все такие w, что тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний.

б)  Пусть а число w яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний.

в)  Из­вест­но, что тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний. Могут ли дей­стви­тель­ные и мни­мые части всех чисел u, v и w быть ра­ци­о­наль­ны­ми од­но­вре­мен­но?

г)  До­ка­жи­те, что если то тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний.

3Б. Будем обо­зна­чать через точку плос­ко­сти, со­от­вет­ству­ю­щую ком­плекс­но­му числу z. Рас­смот­рим точки i  =  1, 2, 3, где и

а)  До­ка­жи­те, что если то точки i  =  1, 2, 3, лежат на одной пря­мой.

б)  До­ка­жи­те, что если и то тре­уголь­ник   — пря­мо­уголь­ный (O  — на­ча­ло ко­ор­ди­нат).

в)  Пусть Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние от­но­ше­ния пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков и

г)  До­ка­жи­те, что точки A_i, i  =  1, 2, 3, и O лежат на одной окруж­но­сти.

3В. Дано число такое что Со­по­ста­вим точ­кам плос­ко­сти (здесь   — ком­плекс­ные числа) числа и

а)  Из­вест­но, что Опре­де­ли­те вид тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  До­ка­жи­те, что числа u и v не из­ме­нят­ся, если тре­уголь­ник ABC под­верг­нуть па­рал­лель­но­му пе­ре­но­су.

в)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним тогда и толь­ко тогда, когда

г)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний u для всех тре­уголь­ни­ков ABC, на­кры­ва­е­мых кру­гом ра­ди­у­са 1.

Дан мно­го­член

а)  Пусть Най­ди­те корни мно­го­чле­на (и за­пи­ши­те их в ал­геб­ра­и­че­ской форме).

б)  Най­ди­те все пары при ко­то­рых один из кор­ней мно­го­чле­на сов­па­да­ет с се­ре­ди­ной от­рез­ка между двумя дру­ги­ми (здесь и в сле­ду­ю­щем пунк­те мы отож­деств­ля­ем ком­плекс­ные числа с точ­ка­ми плос­ко­сти).

в)  Най­ди­те все пары при ко­то­рых корни мно­го­чле­на лежат в вер­ши­нах рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

г)  До­ка­жи­те, что если при всех то

3А. Ком­плекс­ное число на­зы­ва­ет­ся гаус­со­вым, если a и b  — целые числа. Го­во­рят, что гаус­со­во число z крат­но числу w, если где w и u  — гаус­со­вы числа. Пусть   — мно­же­ство всех гаус­со­вых чисел, крат­ных

а)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные a, такие что и

б)  До­ка­жи­те, что если и то z крат­но

в)  Су­ще­ству­ют ли числа такие что

г)  До­ка­жи­те, что для вся­ко­го гаус­со­ва числа z най­дет­ся число такое что

3А. Пусть В сле­ду­ю­щих далее фор­му­ли­ров­ках мы для крат­ко­сти будем отож­деств­лять ком­плекс­ные числа с их изоб­ра­же­ни­я­ми как точек плос­ко­сти.

а)  Пусть Верно ли, что при всех корни мно­го­чле­на лежат на еди­нич­ной окруж­но­сти?

б)  Пусть и Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние мо­ду­ля раз­но­сти кор­ней мно­го­чле­на

в)  Пусть z_k, k  =  1, 2, 3, 4,  — вер­ши­ны квад­ра­та с цен­тром u. До­ка­жи­те, что

г)  Пусть m  — наи­боль­шее зна­че­ние при До­ка­жи­те, что при всех

Отоб­ра­же­ние f со­по­став­ля­ет ком­плекс­но­му числу z число где и a  — не­ко­то­рые фик­си­ро­ван­ные ком­плекс­ные числа.

а)  Из­вест­но, что и Най­ди­те

б)  Из­вест­но, что Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство всех воз­мож­ных зна­че­ний при усло­вии, что

в)  Из­вест­но, что Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство всех зна­че­ний a, при ко­то­рых

г)  Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство всех зна­че­ний a, для ко­то­рых най­дет­ся такое зна­че­ние u, что со­от­вет­ству­ю­щее отоб­ра­же­ние f пе­ре­во­дит точки по­лу­плос­ко­сти в точки по­лу­плос­ко­сти

Дан мно­го­член z  — ком­плекс­ное число.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние p(z)  =  2.

б)  Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех кор­ней урав­не­ния p(z)  =  2002.

в)  Най­ди­те все дей­стви­тель­ные зна­че­ния c, при ко­то­рых мо­ду­ли всех кор­ней урав­не­ния p(z)  =  c не пре­вос­хо­дят 1.

г)  Су­ще­ству­ют ли такие ком­плекс­ные зна­че­ния c, при ко­то­рых мо­ду­ли всех кор­ней урав­не­ния p(z)  =  c равны 1?