Даны функ­ции и

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f(x) < g(x).

б)  Най­ди­те все зна­че­ния x такие, что f(x) и g(x) од­но­вре­мен­но яв­ля­ют­ся це­лы­ми чис­ла­ми.

в)  Най­ди­те все числа c такие, что урав­не­ние f(x) + g(x)  =  c имеет ре­ше­ния.

г)  Пусть x_n  — такое число, что f(x_n)  =  −n, где n  — на­ту­раль­ное число, n ⩾ 2. До­ка­жи­те, что

Дана функ­ция

а)  Най­ди­те все зна­че­ния a такие, что функ­ция f при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния на ин­тер­ва­ле

б)  Пусть a  =  2. Ре­ши­те урав­не­ние

в)  Пусть a > 4. Точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка функ­ции f с гра­фи­ком функ­ции по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ют­ся от­рез­ка­ми. Ука­жи­те наи­мень­шую и наи­боль­шую из длин по­лу­чен­ных от­рез­ков.

г)  Пусть a  =  2 и x та­ко­во, что Най­ди­те

Обо­зна­чим через P_n мно­же­ство всех на­бо­ров (t₁, t₂, ..., t_n) целых чисел таких, что 0 ⩽ t_i ⩽ i. Со­по­ста­вим каж­до­му та­ко­му на­бо­ру число

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные на­бо­ры (t₁, t₂, t₃, t₄), для ко­то­рых N(t₁, t₂, t₃, t₄)  =  15.

б)  До­ка­жи­те, что

в)  До­ка­жи­те, что N опре­де­ля­ет вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между P_n и мно­же­ством всех не­от­ри­ца­тель­ных целых чисел, мень­ших (n + 1)!.

г)  Пусть j₀, j₁, ..., j_n  — не­ко­то­рая пе­ре­ста­нов­ка чисел 0, 1, ..., n. Обо­зна­чим через t_i ко­ли­че­ство чисел, мень­ших i, но сто­я­щих спра­ва от него в дан­ной пе­ре­ста­нов­ке. Най­ди­те все пе­ре­ста­нов­ки j₀, j₁, ..., j_{6, для ко­то­рых}

Дан мно­го­член z  — ком­плекс­ное число.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние p(z)  =  2.

б)  Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех кор­ней урав­не­ния p(z)  =  2002.

в)  Най­ди­те все дей­стви­тель­ные зна­че­ния c, при ко­то­рых мо­ду­ли всех кор­ней урав­не­ния p(z)  =  c не пре­вос­хо­дят 1.

г)  Су­ще­ству­ют ли такие ком­плекс­ные зна­че­ния c, при ко­то­рых мо­ду­ли всех кор­ней урав­не­ния p(z)  =  c равны 1?

Будем го­во­рить, что пря­мо­уголь­ник (тра­пе­ция) впи­сан в под­гра­фик функ­ции f, если одна из его (её) сто­рон лежит на оси абс­цисс, а две вер­ши­ны  — на под­гра­фи­ке этой функ­ции.

а)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в под­гра­фик функ­ции

б)  Верно ли, что из всех пря­мо­уголь­ни­ков, впи­сан­ных в под­гра­фик функ­ции наи­боль­шую пло­щадь имеет тот, вы­со­та ко­то­ро­го вдвое мень­ше его ши­ри­ны?

в)  Пусть S  — наи­боль­шая пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в под­гра­фик функ­ции До­ка­жи­те, что пло­щадь впи­сан­ной в под­гра­фик этой функ­ции тра­пе­ции, ос­но­ва­ния ко­то­рой па­рал­лель­ны оси ор­ди­нат, мень­ше S.

г)  Най­ди­те все зна­че­ния c, для ко­то­рых наи­боль­шая пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в под­гра­фик функ­ции равна πc.