Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1993 год, вариант 1
Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
Версия для печати и копирования в MS Word
Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Пусть 
Решите неравенство 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
что При каких a это уравнение имеет решение?
г) Найдите все такие положительные a, при которых для любого натурального числа n уравнение 
имеет решение.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите наибольшую длину промежутка монотонности функции f.
в) Сколько решений (в зависимости от a) имеет уравнение 
г) Дано тело, ограниченное плоскостями 
и поверхностью, получаемой при вращении графика функции f вокруг прямой 
лежащей в плоскости Oxy. При каком m объем этого тела наименьший?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Дана функция 
а) Докажите, что фигуры, ограниченные отрезками горизонтальных касательных к графику функции f и дугами этого графика между точками его пересечения с касательными, имеют равные площади.
б) Докажите, что график функции f симметричен относительно точки 
в) Докажите, что прямая, касающаяся графика функции f в точке с абсциссой 
не равной двум, пересечет этот график еще в одной точке. Найдите абсциссу этой точки.
г) Докажите, что прямая, пересекающая график функции f в трех точках, одна из которых является серединой отрезка между двумя другими, проходит через точку A.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4. Пусть S — множество комплексных чисел, модуль которых равен единице.
а) Докажите, что все решения уравнения 
принадлежат множеству S.
б) Найдите все решения уравнения 
которые лежат в S.
в) Найдите все действительные a, при которых уравнение 
имеет решения, лежащие в S.
г) Найдите все значения 
при которых уравнение 
имеет решения, лежащие в S.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5. Числа 
где n, k — целые неотрицательные, определены равенствами
и
при 
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение 
в) Докажите, что для любых натуральных чисел p и n верно тождество
г) Докажите, что 
совпадает с числом таких перестановок 
чисел 
для которых неравенство 
выполняется ровно для k значений 
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.