Дана функ­ция

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство

в)  Ре­ши­те урав­не­ние при всех

г)  Числа a, b, c об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию До­ка­жи­те, что

Дана функ­ция

а)  Пусть Ре­ши­те урав­не­ние

б)  При тех же зна­че­ни­ях a и b ре­ши­те не­ра­вен­ство

в)  Пусть Най­ди­те все такие зна­че­ния b, что дан­ная функ­ция убы­ва­ет на ин­тер­ва­ле

г)  Пусть До­ка­жи­те, что урав­не­ние имеет ровно три ре­ше­ния на от­рез­ке тогда и толь­ко тогда, когда

3.  Дана по­сле­до­ва­тель­ность где

а)  До­ка­жи­те, что при всех вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства

б)  До­ка­жи­те, что по­сле­до­ва­тель­ность убы­ва­ет, и вы­чис­ли­те пре­дел

в)  Пусть До­ка­жи­те, что все числа a_n, ир­ра­ци­о­наль­ные.

г)  Пусть До­ка­жи­те, что

4.   Пусть   — точки плос­ко­сти, изоб­ра­жа­ю­щие ком­плекс­ные числа u, v, w.

а)  Пусть Най­ди­те все такие w, что тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний.

б)  Пусть а число w яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний.

в)  Из­вест­но, что тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний. Могут ли дей­стви­тель­ные и мни­мые части всех чисел u, v и w быть ра­ци­о­наль­ны­ми од­но­вре­мен­но?

г)  До­ка­жи­те, что если то тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний.

5.  Дана функ­ция пря­мая за­дан­ная урав­не­ни­ем и точка

а)  Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых пря­мая ка­са­ет­ся гра­фи­ка функ­ции f.

б)  Пусть P и Q  — точки ка­са­ния пря­мой с гра­фи­ка­ми (при най­ден­ных в преды­ду­щем пунк­те зна­че­ни­ях a). Вы­чис­ли­те пло­щадь кри­во­ли­ней­но­го тре­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го от­рез­ком PQ и ду­га­ми AP, AQ этих гра­фи­ков.

в)  Пусть Най­ди­те точку гра­фи­ка функ­ции f, бли­жай­шую к точке

г)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пло­ща­ди сег­мен­та, огра­ни­чен­но­го гра­фи­ком функ­ции f и осью абс­цисс.