Дана функ­ция

а)  При каком a пря­мая ка­са­ет­ся гра­фи­ка функ­ции f?

б)  До­ка­жи­те, что

в)  Пусть Сколь­ко ре­ше­ний (в за­ви­си­мо­сти от b) имеет урав­не­ние

г)  Пусть и До­ка­жи­те, что

Дана си­сте­ма

а)  Ре­ши­те си­сте­му при

б)  Ре­ши­те си­сте­му при

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка, длины по­сле­до­ва­тель­ных сто­рон ко­то­ро­го равны 3, 1, 3 и 4.

г)  Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти мно­же­ство всех точек таких что дан­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ние.

3А. Пусть В сле­ду­ю­щих далее фор­му­ли­ров­ках мы для крат­ко­сти будем отож­деств­лять ком­плекс­ные числа с их изоб­ра­же­ни­я­ми как точек плос­ко­сти.

а)  Пусть Верно ли, что при всех корни мно­го­чле­на лежат на еди­нич­ной окруж­но­сти?

б)  Пусть и Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние мо­ду­ля раз­но­сти кор­ней мно­го­чле­на

в)  Пусть z_k, k  =  1, 2, 3, 4,  — вер­ши­ны квад­ра­та с цен­тром u. До­ка­жи­те, что

г)  Пусть m  — наи­боль­шее зна­че­ние при До­ка­жи­те, что при всех

3Б. Рас­смат­ри­ва­ют­ся по­сле­до­ва­тель­но­сти для ко­то­рых

а)  Пусть Вы­чис­ли­те

б)  До­ка­жи­те, что если то по­сле­до­ва­тель­ность мо­но­тон­на.

в)  Най­ди­те мно­же­ство всех чисел, ко­то­рые не могут яв­лять­ся на­чаль­ны­ми чле­на­ми таких (бес­ко­неч­ных) по­сле­до­ва­тель­но­стей.

г)  Най­ди­те мно­же­ство на­чаль­ных чле­нов мо­но­тон­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей

Не­ко­то­рое устрой­ство может на­хо­дит­ся в одном из трех со­сто­я­ний (обо­зна­ча­е­мых далее a, b и c). Если оно в не­ко­то­рый мо­мент на­хо­дит­ся, к при­ме­ру, в со­сто­я­нии a, то через одну се­кун­ду оно пе­рей­дет в одно из со­сто­я­ний b или c (ве­ро­ят­ность пе­ре­хо­да в каж­дое из ко­то­рых равна ). Обо­зна­чим через где ве­ро­ят­ность того, что через n се­кунд устрой­ство будет на­хо­дит­ся в со­сто­я­нии x; в на­чаль­ный мо­мент оно на­хо­дит­ся в со­сто­я­нии a.

а)  Вы­чис­ли­те

б)  Может ли при не­ко­то­ром n ве­ро­ят­ность быть рав­ной

в)  До­ка­жи­те, что

г)  До­ка­жи­те, что утвер­жде­ние, сфор­му­ли­ро­ван­ное в преды­ду­щем пунк­те, рав­но­силь­но тому, что