Дана функ­ция

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство

б)  Ре­ши­те урав­не­ние

в)  При каких зна­че­ни­ях a урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня?

г)  Пусть где и   — число раз­лич­ных кор­ней урав­не­ния По­строй­те гра­фик функ­ции n.

Даны функ­ции

а)  Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, ко­то­рая огра­ни­че­на гра­фи­ка­ми дан­ных функ­ций и пря­мы­ми и

б)  Пусть и   — это точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с гра­фи­ка­ми функ­ций f и g. При каких m длина от­рез­ка с кон­ца­ми в этих точ­ках равна еди­ни­це?

в)  Су­ще­ству­ет ли от­ре­зок, концы ко­то­ро­го лежат на гра­фи­ке функ­ции f, а се­ре­ди­на сов­па­да­ет с точ­кой

г)  Изоб­ра­зи­те на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство се­ре­дин от­рез­ков, концы ко­то­рых лежат на гра­фи­ке функ­ции f.

3.  По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой а

а)  До­ка­жи­те, что если то дан­ная по­сле­до­ва­тель­ность мо­но­тон­на.

б)  До­ка­жи­те, что если то при всех на­ту­раль­ных n верно не­ра­вен­ство

в)  До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­ность схо­дя­ща­я­ся, то она стре­мит­ся к нулю.

г)  До­ка­жи­те, что если число c ра­ци­о­наль­но, то эта по­сле­до­ва­тель­ность не имеет ко­неч­но­го пре­де­ла.

4.  Пусть   — точки плос­ко­сти (здесь z  — ком­плекс­ное число).

а)  До­ка­жи­те, что если то (O  — на­ча­ло ко­ор­ди­нат).

б)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку с вер­ши­на­ми в точ­ках 0, 1 и ком­плекс­ной плос­ко­сти.

в)  Пусть Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний ра­ди­у­сов окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ка ABC.

г)  При каком зна­че­нии z, где пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

5.  На­зо­вем рас­сто­я­ни­ем между точ­ка­ми по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да длину крат­чай­шей ло­ма­ной на его по­верх­но­сти, со­еди­ня­ю­щей эти точки. Пусть E и W  — про­ти­во­по­лож­ные вер­ши­ны па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

а)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми E и W еди­нич­но­го куба.

б)  При каких зна­че­ни­ях a и b рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми E и W пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да еди­нич­но­го объ­е­ма с дли­на­ми ребер a, a, b будет наи­мень­шим?

в)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между лю­бы­ми па­ра­ми точек по­верх­но­сти еди­нич­но­го куба не пре­вос­хо­дит рас­сто­я­ния между точ­ка­ми E и W.

г)  Най­ди­те длины ребер пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да еди­нич­но­го объ­е­ма, рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми E и W ко­то­ро­го при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние.